Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.1 - Ex. 4
Nos Exercícios 1-4, r(t) é a posição de uma partícula no plano xy no instante t. Encontre uma equação em x e y cujo gráfico seja a trajetória da partícula. Em seguida, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula no valor determinado de t.
Passo 1
Fala galerinha tranquilidade, esse primeiro bloco de questões nós vamos utilizar o conceito de parametrização, isso porque temos o vetor posição e suas coordenadas em função de t. O que faremos inicialmente será determinar o paramêtro em função da coordenada que ele está e depois construir uma função de x e y. Ficando assim:
Isso são as funções agora precisamos pelo método da substituição eliminar o parâmetro t ficando:
Passo 2
Então pessoal agora precisamos do vetor velocidade da partícula, como já temos o vetor posição dado em função do tempo, o que podemos fazer é calcular a derivada da posição em função do tempo, isso vai resultar no vetor velocidade ficando:
Como é uma derivida vetorial, podemos derivar cada componente individualmente, isso vai resultar no vetor velocidade assim:
Passo 3
Galerinha agora o próximo passo é calcular o vetor aceleração que pode ser observado de duas formas, podemos calcular a derivada segunda do vetor posição, ou simplesmente derivar a velocidade em relação ao tempo. Faremos a segunda opção ficando:
Como é um vetor, a derivada é de cada uma das componentes:
Resposta
Como queremos os valores de velocidade e aceleração para um determinado instante de tempo: Nesse caso
Velocidade:
Aceleração: