Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.1 - Ex. 4

Nos Exercícios 1-4, r(t) é a posição de uma partícula no plano xy no instante t. Encontre uma equação em x e y cujo gráfico seja a trajetória da partícula. Em seguida, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula no valor determinado de t.

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade, esse primeiro bloco de questões nós vamos utilizar o conceito de parametrização, isso porque temos o vetor posição e suas coordenadas em função de t. O que faremos inicialmente será determinar o paramêtro em função da coordenada que ele está e depois construir uma função de x e y. Ficando assim:

Isso são as funções agora precisamos pelo método da substituição eliminar o parâmetro t ficando:

Passo 2

Então pessoal agora precisamos do vetor velocidade da partícula, como já temos o vetor posição dado em função do tempo, o que podemos fazer é calcular a derivada da posição em função do tempo, isso vai resultar no vetor velocidade ficando:

Como é uma derivida vetorial, podemos derivar cada componente individualmente, isso vai resultar no vetor velocidade assim:

Passo 3

Galerinha agora o próximo passo é calcular o vetor aceleração que pode ser observado de duas formas, podemos calcular a derivada segunda do vetor posição, ou simplesmente derivar a velocidade em relação ao tempo. Faremos a segunda opção ficando:

Como é um vetor, a derivada é de cada uma das componentes:

Resposta

Como queremos os valores de velocidade e aceleração para um determinado instante de tempo: Nesse caso

Velocidade:

Aceleração:

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam vec f (t) = vec a t + vec b t^2 e vec g (t) = t vec i + sin t vec j + cos t vec k , com vec a = vec i + vec j e vec b = 2 vec i - vec j ; 0 = t = 2 pi . Calcular:(b) vec f (t) * vec g ( t )

Esboçar a trajetória de uma partícula P , sabendo que seu movimento é descrito por: f → t = t i → + ( 2 t 2 - 1 ) j →

Sejam vec f (t) = vec a t + vec b t^2 e vec g (t) = t vec i + sin t vec j + cos t vec k , com vec a = vec i + vec j e vec b = 2 vec i - vec j ; 0 = t = 2 pi . Calcular:vec f (t) + vec g ( t )

Esboçar a trajetória de uma partícula P , sabendo que seu movimento é descrito por:(h)r → t = 8 - 4 sen ⁡ t i → + 2 cos ⁡ t j → + 4 sen ⁡ t k →

A posição de uma partícula no plano x y , no tempo t , é dada por x t = e t ,y t = t e t .Escrever a função vetorial f → ( t ) que descreve o movimento dessa partícula.Onde se encontrará a partícula e