Nos Exercícios 1-4, r(t) é a posição de uma partícula no plano xy no instante t. Encontre uma equação em x e y cujo gráfico seja a trajetória da partícula. Em seguida, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula no valor determinado de t.

4 .   r t = cos ⁡ 2 t i + 3 sin ⁡ 2 t j ,   t = 0

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade, esse primeiro bloco de questões nós vamos utilizar o conceito de parametrização, isso porque temos o vetor posição e suas coordenadas em função de t. O que faremos inicialmente será determinar o paramêtro em função da coordenada que ele está e depois construir uma função de x e y. Ficando assim:

x = cos ⁡ 2 t y = 3 sin ⁡ 2 t

Isso são as funções agora precisamos pelo método da substituição eliminar o parâmetro t ficando:

x 2 + 1 9 y 2 = 1

Passo 2

Então pessoal agora precisamos do vetor velocidade da partícula, como já temos o vetor posição dado em função do tempo, o que podemos fazer é calcular a derivada da posição em função do tempo, isso vai resultar no vetor velocidade ficando:

v = d r d t

Como é uma derivida vetorial, podemos derivar cada componente individualmente, isso vai resultar no vetor velocidade assim:

d r d t = - 2   s i n 2 t i + 6 cos ⁡ 2 t j

Passo 3

Galerinha agora o próximo passo é calcular o vetor aceleração que pode ser observado de duas formas, podemos calcular a derivada segunda do vetor posição, ou simplesmente derivar a velocidade em relação ao tempo. Faremos a segunda opção ficando:

a = d v d t

Como é um vetor, a derivada é de cada uma das componentes:

d v d t = - 4 cos ⁡ 2 t i + - 12 sin ⁡ 2 t j

Resposta

Como queremos os valores de velocidade e aceleração para um determinado instante de tempo: Nesse caso t = 0

Velocidade:

v = 6 j

Aceleração:

a = - 4 i

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