Enunciado

Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t   especificados.

r t = t i + t 2 j + 2 k ,               t = 1

Passo 1

Olá, meu esforçado estudante. Vamos resolver juntos essa atividade?

A gente tem a equação da posição de uma partícula:

r t = t i + t 2 j + 2 k

E a partir disso queremos encontrar as equações da velocidade, aceleração e velocidade escalar dela. Também queremos encontrar esses mesmos vetores no tempo:

t = 1

Isso é feito substituindo o t = 1 na equação que encontrarmos. Para desenharmos os vetores, deveremos nos atentar quantas unidades ele tem nos eixos x , y , z e começarmos o seu desenho no ponto t dado, no caso dessa atividade, t = 0 .

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = x t , y t , z t

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2

Então é só seguirmos essa lógica dada que iremos resolver essa atividade.

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração, e após isso, esboçar a curva da seguinte função vetorial, desenhando o vetor aceleração e posição no ponto:

r t = t i + t 2   j + 2   k t = 1

O vetor posição em t = 1 é:

r 1 = 1   i + 1   j + 2   k

Vamos calcular a velocidade:

v t = d r ( t ) d t = d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t

Para o nosso caso:

x t = t

y t = t 2

z t = 2

Substituindo então:

v t = d d t t   i + d d t t 2   j + d d t 2 k

v t = 1   i + 2 t j

Em t = 1 :

v 1 = 1   i + 2 j

Passo 3

A velocidade escalar da partícula é:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

Para o nosso caso:

x ' t = 1

y ' t = 2 t

z ' t = 0

Então substituindo:

v t = 1 2 + 2 t 2

v t = 4 t 2 + 1

Passo 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2

Temos que:

v t = 1   i + 2 t j

Então a aceleração é:

a t = d v d t = d 2 r d t 2 =   2   j

Em t = 1 :

a 1 =   2   j

Passo 5

Para esboçar a curva, vamos transformar a equação paramétrica em equação cartesiana:

x = t ,     ( 1 ) y = t 2 → y = t 2     2 z = 2 ,     ( 3 )

Aplicado a equação ( 1 ) em ( 2 ) :

y = t 2

y = x 2

Então temos:

y = x 2 z = 2

O gráfico dessa equação é:

Veja que temos o vetor da velocidade em v 1 = 1   i + 2 j   com uma unidade em direção a + x e duas unidades em direção a + y , isso partindo do ponto t = 1 . Já em relação ao vetor aceleração em a 1 =   2   j temos duas unidades na direção de + y e também iniciamos no ponto t = 1 .

Resposta

v t = 1   i + 2 t j

v t = 4 t 2 + 1

a t = d v d t = d 2 r d t 2 =   2   j

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