Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.4 - Ex. 7
Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de especificados.
Passo 1
Olá, meu esforçado estudante. Vamos resolver juntos essa atividade?
A gente tem a equação da posição de uma partícula:
E a partir disso queremos encontrar as equações da velocidade, aceleração e velocidade escalar dela. Também queremos encontrar esses mesmos vetores no tempo:
Isso é feito substituindo o na equação que encontrarmos. Para desenharmos os vetores, deveremos nos atentar quantas unidades ele tem nos eixos e começarmos o seu desenho no ponto dado, no caso dessa atividade, .
Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:
Tem como função vetorial velocidade:
Velocidade escalar:
E vetor aceleração:
Então é só seguirmos essa lógica dada que iremos resolver essa atividade.
Passo 2
Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração, e após isso, esboçar a curva da seguinte função vetorial, desenhando o vetor aceleração e posição no ponto:
O vetor posição em é:
Vamos calcular a velocidade:
Para o nosso caso:
Substituindo então:
Em :
Passo 3
A velocidade escalar da partícula é:
Para o nosso caso:
Então substituindo:
Passo 4
O vetor aceleração da partícula é:
Temos que:
Então a aceleração é:
Em :
Passo 5
Para esboçar a curva, vamos transformar a equação paramétrica em equação cartesiana:
Aplicado a equação em :
Então temos:
O gráfico dessa equação é:
Veja que temos o vetor da velocidade em com uma unidade em direção a e duas unidades em direção a , isso partindo do ponto . Já em relação ao vetor aceleração em temos duas unidades na direção de e também iniciamos no ponto .
Resposta
