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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1p

Calcule.

underset(x -> 1^-)(lim) (e^((1)/(x^2 - 1)))/(x - 1)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos resolver mais um limite! Repara que,

underset(x -> 1^-)(lim) (e^((1)/(x^2 - 1)))/(x - 1) = (oo)/(0)

Ou seja, temos uma indeterminação! Para resolvê-la, vamos mexer um pouco na função!

Vamos começar fazendo uma mudança no limite:

underset(x -> 1^-)(lim) (e^((1)/(x^2 - 1)))/(x - 1) = underset(x -> 1^-)(lim) e^((1)/(x^2 - 1)) (x - 1)^(- 1)

Portanto, lembrando das propriedades de logaritmos:

underset(x -> 1^-)(lim) e^((1)/(x^2 - 1)) e^(ln (x - 1)^(- 1)) = underset(x -> 1^-)(lim) e^((1)/(x^2 - 1)) e^(- ln (x - 1)) = underset(x -> 1^-)(lim) e^((1)/(x^2 - 1) - ln (x - 1))

Pronto, vamos resolver esse limite agora!

Passo 2

Como temos um exponencial no limite, podemos aplicar essa propriedade,

underset(x -> 1^-)(lim) e^((1)/(x^2 - 1) - ln (x - 1)) = e^(underset(x -> 1^-)(lim) (1)/(x^2 - 1) - ln (x - 1))

Assim, podemos aplicar o limite apenas na parte interna do exponencial, logo:

underset(x -> 1^-)(lim) (1)/(x^2 - 1) - ln (x - 1)

Vamos agora fazer o MMC:

underset(x -> 1^-)(lim) (1 - ln (x - 1) (x^2 - 1))/(x^2 - 1)

Vemos que temos uma indefinição, por isso vamos aplicar a regra de L’Hospital:

underset(x -> 1^-)(lim) ((1 - ln (x - 1) (x^2 - 1))^')/((x^2 - 1)^')

underset(x -> 1^-)(lim) (0 - (1)/(x - 1) (x^2 - 1) - ln (x - 1) (2 x))/(2 x)

Ajeitando,

underset(x -> 1^-)(lim) (- (1)/(x - 1) (x + 1) (x - 1) - 2 x ln (x - 1))/(2 x)

underset(x -> 1^-)(lim) (- x - 1 - 2 x ln (x - 1))/(2 x)

Passo 3

Substituindo o valor de x :

underset(x -> 1^-)(lim) (- x - 1 - 2 x ln (x - 1))/(2 x) = (- 1^- - 1 - 2 * 1^- ln (1^- - 1))/(2 * 1^-) = - oo

Assim,

underset(x -> 1^-)(lim) (e^((1)/(x^2 - 1)))/(x - 1) = e^(- oo) = (1)/(e^(oo)) = 0

Resposta

0

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