Calcule.

lim x → 1 - ⁡ e 1 x 2 - 1 x - 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos resolver mais um limite! Repara que,

lim x → 1 - ⁡ e 1 x 2 - 1 x - 1 = ∞ 0

Ou seja, temos uma indeterminação! Para resolvê-la, vamos mexer um pouco na função!

Vamos começar fazendo uma mudança no limite:

lim x → 1 - ⁡ e 1 x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ e 1 x 2 - 1 x - 1 - 1

Portanto, lembrando das propriedades de logaritmos:

lim x → 1 - ⁡ e 1 x 2 - 1 e ln ⁡ x - 1 - 1 = lim x → 1 - ⁡ e 1 x 2 - 1 e - ln ⁡ x - 1 = lim x → 1 - ⁡ e 1 x 2 - 1 - ln ⁡ x - 1

Pronto, vamos resolver esse limite agora!

Passo 2

Como temos um exponencial no limite, podemos aplicar essa propriedade,

lim x → 1 - ⁡ e 1 x 2 - 1 - ln ⁡ x - 1 = e lim x → 1 - ⁡ 1 x 2 - 1 - ln ⁡ x - 1

Assim, podemos aplicar o limite apenas na parte interna do exponencial, logo:

lim x → 1 - ⁡ 1 x 2 - 1 - ln ⁡ x - 1

Vamos agora fazer o MMC:

lim x → 1 - ⁡ 1 - ln ⁡ x - 1 x 2 - 1 x 2 - 1

Vemos que temos uma indefinição, por isso vamos aplicar a regra de L’Hospital:

lim x → 1 - ⁡ 1 - ln ⁡ x - 1 x 2 - 1 ' x 2 - 1 '

lim x → 1 - ⁡ 0 - 1 x - 1 x 2 - 1 - ln ⁡ x - 1 2 x 2 x

Ajeitando,

lim x → 1 - ⁡ - 1 x - 1 x + 1 x - 1 - 2 x ln ⁡ x - 1 2 x

lim x → 1 - ⁡ - x - 1 - 2 x ln ⁡ x - 1 2 x

Passo 3

Substituindo o valor de x :

lim x → 1 - ⁡ - x - 1 - 2 x ln ⁡ x - 1 2 x = - 1 - - 1 - 2 ∙ 1 - ln ⁡ 1 - - 1 2 ∙ 1 - = - ∞

Assim,

lim x → 1 - ⁡ e 1 x 2 - 1 x - 1 = e - ∞ = 1 e ∞ = 0

Resposta

0

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