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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 35

Calcular a massa e o centro de massa de uma chapa com o fortmato de um triangulo isósceles com base 10 cm e altura 5 cm. Considerar a densidade constante

Passo 1

Para resolvermos questões relacionadas a centro de massa e momento de inercia precisamos da seguinte teoria :

Consideramos um sistema cuja massa total esta distribuída numa região do plano e não apenas num conjunto formado por um número finito de pontos, os conceitos de massa, centro de massa e momento são definidos por meio de integrais duplas. Por exemplo, consideremos uma lâmina fina tendo a forma de uma região D do plano e assumamos que a massa está distruibuida sobre essa lâmina com densidade (massa por unidade de área ) conhecida, isto é, existe uma função positiva f definida em D tal que f ( x , y ) representa a massa por unidade de área em x , y .

Podemos calcular a massa total de D por

m   =   ∬ D f x , y d x d y

E o centro de massa é dado por ( x ' , y ' )

x ' = ∬ D x f x , y d x d y m

y ' = ∬ D y f x , y d x d y m

Passo 2

Considerando nosso triangulo com a base no eixo x e altura no eixo y, temos que nossa região é da seguinte forma:

Cálculo da massa:

m = ∫ 0 5 ∫ y - 5 5 - y k ⋅ d y d x = 25 k

Cálculo do centro de massa:

x ' = 1 25 k ⋅ k ∫ 0 5 ∫ y - 5 5 - y k ⋅ d y d x =   1 25 ⋅ 0 = 0

y ' = 1 25 k ⋅ k ∫ 0 5 ∫ y - 5 5 - y k ⋅ d y d x =   1 25 ⋅ 125 3 = 5 3

Observe que o centro de massa encontra-se 5/3 cm da base sobre a sua mediatriz.

Resposta

m = 25 k  

0 , 5 3  

Ver Outros Exercícios desse livro

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Uma lâmina ocupa a parte do disco x 2 + y 2 ≤ 1 no primeiro quadrante. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x .
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é uma região triangular com vértices 0 ,0 ,2 ,1 ,0 ,3 ; ρ x ,y = x + y
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é a região triangular delimitada pelas retas x = 0,y = x e 2 x + y = 6 ; ρ x ,y = x 2
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é delimitada por y = e x,y = 0,x = 0 e x = 1 ; ρ x ,y = y
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é delimitada por y = x,y = 0 e x = 1 ; ρ x ,y = x