Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 11
Uma lâmina ocupa a parte do disco no primeiro quadrante. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo .
Passo 1
E aiii pessoal, tudo bem? Vamos começar!
Temos um disco cuja a expressão é , e ele ocupa o primeiro quadrante.
Sabendo disso, devemos determinar o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional á distância do ponto ao eixo .
Como começamos essa questão?
O primeiro passo para resolver esse problema, e você fazer um esboço do que acabamos de ler. Vamos fazer um disco no primeiro quadrante, e pegar um ponto aleatório e escrever a densidade em relação a distância do eixo x. Vamos ter:
Perceba, que podemos escrever a densidade como:
A constante escrevemos de forma genérica para a expressão densidade, e ela pode assumir qualquer valor maior que zero, inclusive . Não se preocupe com ela, no fim você vai ver que o centro de massa não depende dela.
Precisamos lembrar das relações de coordenadas polares, que são as seguintes:
Sabemos que a massa e os centro de massas , são obtidos através das seguintes fórmulas:
A região , é nosso disco no primeiro quadrante. Que tem as seguintes parametrizações em coordenadas polares:
Agora é só você começar a calcular! Comece determinando a massa e depois encontre o centro de massa!
Vamos nessa!
Passo 2
Vamos começar determinando nossa densidade, pois ela é crucial na determinação da massa.
Como vimos no passo , ao esboçar nossa região conseguimos achar uma expressão para a densidade em função das coordenadas polares. Que é:
Sabendo disso, podemos calcular a massa:
Nossa região , também vimos que em coordenadas polares ela é escrita como:
Como é um circulo de raio igual , sabemos que varia de até . Já para o ângulo, sabemos que está no primeiro quadrante, logo o ângulo só pode variar entre e .
Com essas informações, vamos substituir na integral. Ficamos com:
Lembrando que em coordenadas polares é:
Assim temos que:
Passo 3
Agora vamos integrar. Lembre-se que começamos de dentro para fora, e tudo que não depende da variável de integração consideramos constante.
Assim, integrando em temos:
Aplicando os limites de integração, temos:
Agora vamos integrar em . Integrando ficamos com:
Aplicando os limites, temos que:
Assim, concluímos que a massa é:
Passo 4
Agora vamos determinar os centros de massa:
Lembrando que:
Vamos começar por . Substituindo os valores temos que:
Simplificando um pouco, temos:
Integrando em primeiro. Vamos ter:
Aplicando os limites de integração, temos:
Agora, vamos precisar fazer uma substituição do tipo:
Substituindo, temos:
Integrando e voltando a variável . Temos:
Aplicando os limites de integração, vamos ter:
Logo, o centro de massa em relação a é:
Passo 5
Agora precisamos determinar o centro de massa em relação a .
O processo vai ser o mesmo que fizemos para . Substituindo os valores em , logo temos:
Simplificando, vamos ter:
Integrando primeiro em , vamos ter:
Aplicando os limites de integração, ficamos com:
Agora, vamos usar uma relação trigonométrica. A seguinte:
Passo 6
Substituindo a relação trigonométrica na integral, vamos ter que:
Separando em duas integrais:
Agora vamos precisar fazer uma substituição na segunda integral, do tipo:
Substituindo temos:
Integrando e voltando a variável , temos:
Aplicando os limites de integração, ficamos com:
Resolvendo, vamos ter:
Logo, o centro de massa em relação a é:
Então, a posição do centro de massa é: