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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.5 - Ex. 6

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D é a região triangular delimitada pelas retas x = 0   ,   y = x   e 2 x + y = 6 ; ρ x ,   y = x 2

Passo 1

Galera, primeiro vamos calcular a massa:

m = ∬ D   ρ ( x ,   y )   d A = ∫ 0 2 ∫ x 6 - 2 x x 2   d y   d x = ∫ 0 2 x 2 y x 6 - 2 x   d x = ∫ 0 2 x 2 6 - 2 x - x 3   d x = ∫ 0 2 6 x 2 - 3 x 3   d x = 2 x 3 - 3 x 4 4 0 2 = 16 - 12 = 4

Passo 2

Agora vamos calcular x - , pra saber qual é o centro de massa x - ,   y - :

x - = M y m

onde M y é o momento em relação ao eixo y , calculado da seguinte forma:

M y = ∬ D   x   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 2 ∫ x 6 - 2 x x 3   d y   d x = ∫ 0 2 x 3 y x 6 - 2 x   d x = ∫ 0 2 x 3 6 - 2 x - x 4   d x = ∫ 0 2 6 x 3 - 3 x 4   d x = 3 x 4 2 - 3 x 5 5 0 2 = 24 - 3   .   32 5 = 24 1 - 4 5 = 24 5

x - = M y m = 24 5 4 = 6 5

Passo 3

Show! Agora só falta calcular y - , mas primeiro, vamos calcular o momento M x em relação ao eixo x :

M x = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 2 ∫ x 6 - 2 x x 2 y   d y   d x = ∫ 0 2 x 2 y 2 2 x 6 - 2 x   d x = ∫ 0 2 1 2 x 2 6 - 2 x 2 - x 4   d x = ∫ 0 2 1 2 36 x 2 + 3 x 4 - 24 x 3   d x = 1 2 12 x 3 + 3 x 5 5 - 6 x 4 0 2 = 1 2 12   .   8 + 12   .   8 5 - 12   .   8 = 1 2   .   12   .   8   . 1 5 = 48 5

y - = M x m = 48 5 4 = 12 5

Então,

x ,   - y - = 6 5 , 12 5

Resposta

m = 4

x ,   - y - = 6 5 , 12 5

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