Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 1 2 ∫ x 2 x ∫ 0 x + y z d z d y d x

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.5 - Ex. 18e

Esboçar a região de integração e calcular as integrais

Passo 1

Lembra que na integral tripla o é a mesma coisa que , então sabemos que as integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga às integrais duplas, por meio de integrações sucessivas.

Para calcular as integrais duplas precisávamos ter noção da região de integração, aqui em integrais triplas vamos precisar da mesma noção e isso é justamente iterar a nossa integral tripla.

Passo 2

Na nossa integral vemos que a ordem de integração é dz, depois dy e por fim dx, logo, a partir dessa informação podemos tirar os nossos limites para cada variável

Portanto,

Isso nos dá a seguinte região T :

Que é a região entre os planos e entre os planos no primeiro octante e acima de e abaixo de

Passo 3

Agora, vamos resolver nossa integral

Resposta

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Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T x y d V Onde T é a região delimitada por z=4 - x 2 ,x = 0 ,y = 0 ,z = 0ey + z = 8 .

Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T ( x - 1 ) d V Onde T é solido delimitado pelos planos y + z = 8 ,- y + z = 8 ,x = 0 ,x = 4 ,z = 0 ,y = - 2ey = 2 .

Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T d V Onde T é o hemisfério da frente da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T ( x 2 + y 2 ) d V Onde T é o cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 ,0 ≤ z ≤ 4 .

Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T z d V Onde T é a região do primeiro octante limitada por z 2 + y 2 = 2,y = 2 x ,x = 0 .