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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 5i

Usando coordenadas polares, calcular:

i) int_0^2 int_0^(sqrt(2 x - x^2)) x d y d x

Passo 1

Temos que:

0 <= x <= 2

0 <= y <= sqrt(2 x - x^2)

A representação da região de integração é dada:

Assim:

y <= sqrt(2 x - x^2)

y^2 <= 2 x - x^2

x^2 + y^2 <= 2 x

Como:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Temos:

r^2 <= 2 r cos theta

r <= 2 cos theta

Desse modo, temos que:

0 <= r <= 2 cos theta

0 <= theta <= (pi)/(2)

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Então, substituindo na equação dada, temos:

int_0^((pi)/(2)) int_0^(2 cos theta) r cos theta * r d r d theta

Passo 3

Integrando para r :

int_0^(2 cos theta) r^2 cos theta d r = (r^3)/(3) cos theta

Aplicando os limites:

(8 cos^3 theta - 0) (cos theta)/(3) = (8)/(3) cos^4 theta

Passo 4

Integrando para theta :

int_0^((pi)/(2)) (8)/(3) cos^4 theta d theta = (1)/(12) [32 cos^3 theta * s e n theta + 3 (4 theta - s e n 4 theta)]

Aplicando os limites:

(1)/(12) {0 + 3 [4 ((pi)/(2) - 0) - (s e n 2 pi - s e n 0)]} = (1)/(12) [6 pi - (0 - 0)] = (pi)/(2)

Resposta

(pi)/(2)

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