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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 15

Calcular ∭_T^() ( x^2 + y^2 ) d V , onde T é delimitada por x^2 + y^2 = 1 , x^2 + y^2 = 4 , x^2 + y^2 + z^2 = 9 e z = 0

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Beleza! Agora que já sabemos como é a figura podemos deduzir que z é limitado pelo plano z = 0 e pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 .

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas cilíndricas:

x^2 + y^2 + z^2 = 9

z = sqrt(9 - r^2)

Então z estará entre:

0 <= p <= sqrt(9 - r^2)

Legal, agora só precisamos de r e theta .

Já sabemos que r deverá ser do cilindro menor até o cilindro maior.

Começando pelo cilindro menor:

x^2 + y^2 = 1 -> r = 1

E para o maior:

x^2 + y^2 = 4 -> r = 2

Então:

1 <= r <= 2

O theta é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, então:

0 <= theta <= 2 pi

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭_T^() ( x^2 + y^2 ) d V = ∭_T^() r^2 d z . r d r . d theta

= ∬_R^() [int_0^(sqrt(9 - r^2)) d z] r^3 d r . d theta

Resolvendo:

int_0^(sqrt(9 - r^2)) d z = z = sqrt(9 - r^2)

Aplicando na integral:

= int_0^(2 pi) [ int_1^2 (r^3 sqrt(9 - r^2)) d r ] d theta

Resolvendo a integral:

int_1^2 (r^3 sqrt(9 - r^2)) d r

Vamos chamar:

u = sqrt(9 - r^2) -> r = sqrt(9 - u^2)

d u = (1)/(2) (9 - r^2)^(- (1)/(2)) . (- 2 r) = - (r d r)/(sqrt(9 - r^2)) = - (r d r)/(u) -> - u . d u = r . d r

int_1^2 (9 - u^2) . u (- u . d u) = - int_1^2 (9 - u^2) . u^2 d u

= - int_1^2 (9 u^2 - u^4) d u = - [(9 u^3)/(3) - (u^5)/(5)]

Substituindo u:

= - [(9 ( 9 - r^2 )^((3)/(2)))/(3) - (( 9 - r^2 )^((5)/(2)))/(5)]

Agora é só aplicar nosso intervalo:

= (1)/(5) [(9 - 2^2)^((5)/(2)) - (9 - 1^2)^((5)/(2))] - (9)/(3) [(9 - 2^2)^((3)/(2)) - (9 - 1^2)^((3)/(2))]

= (1)/(5) [5^((5)/(2)) - 8^((5)/(2))] - (9)/(3) [5^((3)/(2)) - 8^((3)/(2))]

= (1)/(5) [25 sqrt(5) - 128 sqrt(2)] - (9)/(3) [5 sqrt(5) - 1 6 sqrt(2)]

= 5 sqrt(5) - (128 sqrt(2))/(5) - 1 5 sqrt(5) + 48 sqrt(2)

= - (128 sqrt(2))/(5) - 1 0 sqrt(5) + 48 sqrt(2)

= (1 1 2 sqrt(2))/(5) - 10 sqrt(5)

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= int_0^(2 pi) [(112 sqrt(2))/(5) - 10 sqrt(5)] d theta

= 2 pi [(112 sqrt(2))/(5) - 10 sqrt(5)]

= pi [(224 sqrt(2))/(5) - 2 0 sqrt(5)]

Gostaram ?

Resposta

pi [(224 sqrt(2))/(5) - 20 sqrt(5)]

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Converta a integral: ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 ∫ 0 x x 2 + y 2 d z d x d y Em uma integral equivalente em coordenada cilíndricas e calcule o resultado
∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 - r 2 d zrd rd θ
Seja D a região delimitada abaixo pelo plano z = 0 , acima pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 e dos lados pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 . Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas que fornecem