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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 11

Calcular ∭_T^() ( x^2 + y^2 + z^2 ) . d V , onde T é a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 e interior ao cone z = sqrt(x^2 + y^2)

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Beleza! Agora que já sabemos como é a figura podemos deduzir que z é limitado superiormente pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 e inferiormente pelo cone z = sqrt(x^2 + y^2) .

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas:

x^2 + y^2 + z^2 = p^2

p^2 = 9

p = +- 3

Como p é a distância do ponto à origem, a máxima distância será 3 e a menor, zero.

Então p estará entre:

0 <= p <= 3

Legal, agora só precisamos de ф e theta .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Pela equação do cone temos que:

z = sqrt(x^2 + y^2)

Em coordenadas esféricas podemos substituir:

z = p . cos ф

x = p . sen ф . cos ф

y = p . sen ф . sen ф

p . cos ф = sqrt(( p . sen ф . cos ф )^2 + ( p . sen ф . sen ф )^2)

p . cos ф = sqrt(p^2 . sen^2 ф ( cos ф^2 + sen ф^2) )

p . cos ф = sqrt(p^2 . sen^2 ф)

p . cos ф = p . sen ф

tg ф = 1

ф = (pi)/(4)

Sendo assim, o ponto P pode fazer um ângulo com o eixo z de 0 até (pi)/(4) .

0 <= ф <= (pi)/(4)

O theta é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, então:

0 <= theta <= 2 pi

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭_T^() (x^2 + y^2 + z^2) . d V = ∭_T^() ( p^2 ) p^2 . s e n (ф) . d p . d theta . d ф

= ∬_R^() [int_0^3 p^4 . d p] s e n (ф) . d theta . d ф

Resolvendo:

int_0^3 p^4 . d p = (p^5)/(5) = (3^5)/(5)

= (243)/(5)

Aplicando na integral:

= int_0^((pi)/(4)) [ int_0^(2 pi) ((243)/(5)) d theta ] s e n (ф) . d ф

Resolvendo a integral:

int_0^(2 pi) ((243)/(5)) d theta = (486 pi)/(5)

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= int_0^((pi)/(4)) (486 pi)/(5) . s e n (ф) . d ф

= (486 pi)/(5) int_0^((pi)/(4)) s e n (ф) . d ф

= (486 pi)/(5) ( - c o s (ф) )

Aplicando o intervalo:

= - (486 pi)/(5) ( c o s ((pi)/(4)) - c o s (0) )

= (486 pi)/(5) (1 - (sqrt(2))/(2))

= (486 pi)/(5) ((2 - sqrt(2))/(2))

= (243 pi ( 2 - sqrt(2) ))/(5)

Legal né ?

Resposta

(243 pi ( 2 - sqrt(2) ))/(5)

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