Calcular ∭ T d V , onde T é o elipsoide x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1.

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar o elipsoide:

Para resolver este tipo de questão nós vamos fazer uma mudança de variáveis:

x = u a

y = v b

z = w c

Colocando na fórmula do elipsoide:

u 2 . a 2 a 2 + v 2 . b 2 b 2 + w 2 . c 2 c 2 = 1

u 2 + v 2 + w 2 = 1

Legal, não é? Transformamos nosso elipsoide em um esfera centrada na origem:

A nossa esfera é limitada por u 2 + v 2 + w 2 = 1 .

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas:

u 2 + v 2 + w 2 = p 2

p 2 = 1

p = ± 1

Então p estará entre:

0 ≤ p ≤ 1

Legal, agora só precisamos de ф e θ .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Na esfera este ângulo pode ir de 0 até 180°, então:

0 ≤ ф ≤ π

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição () para mudar as variáveis de integração:

∭ T d V = ∭ T p 2 s e n   ф . d p . d θ . d ф

Mas a questão aqui é que fizemos uma mudança de variável, não foi?

Então nós precisamos calcular o Jacobiano, que será igual ao determinante da matriz:

J = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w = a 0 0 0 b 0 0 0 c = a b c

Então a integral que usaremos será:

= ∭ T a b c . p 2 s e n   ф . d p . d θ . d ф

= a b c ∬ R ∫ 0 1 p 2 . d p s e n   ф . d θ . d ф

Resolvendo:

∫ 0 1 p 2 . d p = p 3 3 = 1 3

Aplicando na integral:

= a b c ∫ 0 π [ ∫ 0 2 π 1 3 d θ ] s e n   ф . d ф    

Resolvendo a integral:

∫ 0 2 π 1 3 d θ = 2 π 3

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= a b c ∫ 0 π 2 π 3   . s e n   ф . d ф      

= 2 π 3 a b c ∫ 0 π s e n   ф . d ф  

= 2 π 3 a b c ( - c o s   ф )

Aplicando o intervalo:

= - 2 π 3 a b c ( c o s   π - c o s   0 )

= - 2 π 3 a b c ( - 1 - 1 )

= 4 π 3 a b c

E fiiim !!

Resposta

4 π 3 a b c

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