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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 18

Calcular ∭_T^() d V , onde T é o elipsoide (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) = 1 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar o elipsoide:

Para resolver este tipo de questão nós vamos fazer uma mudança de variáveis:

x = u a

y = v b

z = w c

Colocando na fórmula do elipsoide:

(u^2 . a^2)/(a^2) + (v^2 . b^2)/(b^2) + (w^2 . c^2)/(c^2) = 1

u^2 + v^2 + w^2 = 1

Legal, não é? Transformamos nosso elipsoide em um esfera centrada na origem:

A nossa esfera é limitada por u^2 + v^2 + w^2 = 1 .

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas:

u^2 + v^2 + w^2 = p^2

p^2 = 1

p = +- 1

Então p estará entre:

0 <= p <= 1

Legal, agora só precisamos de ф e theta .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Na esfera este ângulo pode ir de 0 até 180°, então:

0 <= ф <= pi

O theta é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 <= theta <= 2 pi

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição () para mudar as variáveis de integração:

∭_T^() d V = ∭_T^() p^2 s e n (ф) . d p . d theta . d ф

Mas a questão aqui é que fizemos uma mudança de variável, não foi?

Então nós precisamos calcular o Jacobiano, que será igual ao determinante da matriz:

J = [[[(del x)/(del u),(del x)/(del v),(del x)/(del w)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v),(del y)/(del w)],[(del z)/(del u),(del z)/(del v),(del z)/(del w)]]] = [[[a,0,0],[0,b,0],[0,0,c]]] = a b c

Então a integral que usaremos será:

= ∭_T^() a b c . p^2 s e n (ф) . d p . d theta . d ф

= a b c ∬_R^() [int_0^1 p^2 . d p] s e n (ф) . d theta . d ф

Resolvendo:

int_0^1 p^2 . d p = (p^3)/(3) = (1)/(3)

Aplicando na integral:

= a b c int_0^(pi) [ int_0^(2 pi) ((1)/(3)) d theta ] s e n (ф) . d ф

Resolvendo a integral:

int_0^(2 pi) ((1)/(3)) d theta = (2 pi)/(3)

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= a b c int_0^(pi) (2 pi)/(3) . s e n (ф) . d ф

= (2 pi)/(3) a b c int_0^(pi) s e n (ф) . d ф

= (2 pi)/(3) a b c ( - c o s (ф) )

Aplicando o intervalo:

= - (2 pi)/(3) a b c ( c o s (pi) - c o s (0) )

= - (2 pi)/(3) a b c ( - 1 - 1 )

= (4 pi)/(3) a b c

E fiiim !!

Resposta

(4 pi)/(3) a b c

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