Uma região R no plano x y é dada. Determine equações para a transformação T que mapeia uma região retangular S no plano u v sobre R , onde os lados de S são paralelos aos eixos u e v .R está entre os círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 2 no primeiro quadrante.

S = u , v 1 ≤ u ≤ 2 ,0 ≤ v ≤ π / 2 }

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 13

Uma região R no plano é dada. Determine equações para a transformação que mapeia uma região retangular no plano sobre , onde os lados de são paralelos aos eixos e .

R está entre os círculos e no primeiro quadrante.

Passo 1

Inicialmente devemos lembrar como de parametrizar circunferências usando coordenadas polares. Tomando como referência o sentido anti-horário, fazemos a seguinte transformação

Onde e são nossos parâmetros. Desta forma podemos descrever qualquer ponto apenas informando um raio e um ângulo.

Passo 2

Assim como solicitado no enunciado, fazendo uma transformação para o espaço teremos

Desta forma, tomando apenas o primeiro quadrante de nossas circunferências, podemos definir o intervalo de e .

Como representa o raio do conjunto delimitado pelas duas circunfundias, teremos que varia entre e . Enquanto varia em ângulo entre e . Desta forma temos que

Resposta

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Calcular ∭ T y . d V , onde T é a região interior às superfícies z = 1 4 ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 + z 2 = 5 .

Calcular ∭_T^() d V , onde T é o elipsoide (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) = 1 .

Calcular ∭_T^() ( x^2 + y^2 + z^2 ) . d V , onde T é a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 e interior ao cone z = sqrt(x^2 + y^2)

Calculed) int int int_B sqrt(x + y) * sqrt(x + 2 * y - z) * d x * d y * d z onde B é a região 1 = x + y = 2 , 0 = x + 2 * y - z = 1 e 0 = z = 1 .

a) Calcule ∭ E d V , onde E é o sólido limitado pelo elipsoide x 2 / a 2 + y 2 / b 2 +z 2 / c 2 = 1 . Utilize a transformação x = a u , y = b v , z = c w .b) A Terra não é perfeitamente esférica; como