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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 13

Uma região R no plano x y é dada. Determine equações para a transformação T que mapeia uma região retangular S no plano u v sobre R , onde os lados de S são paralelos aos eixos u e v .

R está entre os círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 2 no primeiro quadrante.

Passo 1

Inicialmente devemos lembrar como de parametrizar circunferências usando coordenadas polares. Tomando como referência o sentido anti-horário, fazemos a seguinte transformação

x = r ⋅ c o s ⁡ ( θ )

y = r ⋅ s i n ⁡ ( θ )

Onde r e θ são nossos parâmetros. Desta forma podemos descrever qualquer ponto ( x , y ) apenas informando um raio e um ângulo.

Passo 2

Assim como solicitado no enunciado, fazendo uma transformação para o espaço u v teremos

x = u   c o s ⁡ ( v )

y = u   s i n ⁡ ( v )

Desta forma, tomando apenas o primeiro quadrante de nossas circunferências, podemos definir o intervalo de u e v .

Como u representa o raio do conjunto delimitado pelas duas circunfundias, teremos que u varia entre 1 e 2 . Enquanto v varia em ângulo entre 0 e π / 2 . Desta forma temos que

S = u , v 1 ≤ u ≤ 2 ,   0 ≤ v ≤ π / 2 }

Resposta

S = u , v 1 ≤ u ≤ 2 ,   0 ≤ v ≤ π / 2 }

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Calcular ∭ T y . d V , onde T é a região interior às superfícies z = 1 4 ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 + z 2 = 5 .
Calcular ∭ T d V , onde T é o elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .
Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 + z 2 ) . d V , onde T é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 e interior ao cone z = x 2 + y 2
Calculed) ∫ ∫ ∫ B x + y ⋅ x + 2 ⋅ y - z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é a região 1 ≤ x + y ≤ 2 , 0 ≤ x + 2 ⋅ y - z ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 .
a) Calcule ∭ E d V , onde E é o sólido limitado pelo elipsoide x 2 / a 2 + y 2 / b 2 +z 2 / c 2 = 1 . Utilize a transformação x = a u , y = b v , z = c w .b) A Terra não é perfeitamente esférica; como