Uma região R no plano x * y é dada. Determine equações para a transformação T que mapeia uma região retangular S no plano u v sobre R , onde os lados de S são paralelos aos eixos u e v .

R está entre os círculos x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 2 no primeiro quadrante.

Passo 1

Inicialmente devemos lembrar como de parametrizar circunferências usando coordenadas polares. Tomando como referência o sentido anti-horário, fazemos a seguinte transformação

x = r ⋅ c o s ⁡ ( θ )

y = r ⋅ s i n ⁡ ( θ )

Onde r e θ são nossos parâmetros. Desta forma podemos descrever qualquer ponto ( x , y ) apenas informando um raio e um ângulo.

Passo 2

Assim como solicitado no enunciado, fazendo uma transformação para o espaço u v teremos

x = u   c o s ⁡ ( v )

y = u   s i n ⁡ ( v )

Desta forma, tomando apenas o primeiro quadrante de nossas circunferências, podemos definir o intervalo de u e v .

Como u representa o raio do conjunto delimitado pelas duas circunfundias, teremos que u varia entre 1 e 2 . Enquanto v varia em ângulo entre 0 e π / 2 . Desta forma temos que

S = u , v 1 ≤ u ≤ 2 ,   0 ≤ v ≤ π / 2 }

Resposta

S = u , v 1 ≤ u ≤ 2 ,   0 ≤ v ≤ π / 2 }

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