Determine o jacobiano da transformação.

x = e^(-r) sen theta, y = e^(r) cos theta

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Para calcular o jacobiano dessa transformação devemos primeiro lembrar como se calcula o jacobiano. Lembrando da definição 7 do livro texto, o jacobiano de uma transformação T dada por x = g ( r , θ ) e y = h ( r , θ ) é:

∂ x , y ∂ ( r , θ ) = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ = ∂ x ∂ r ∂ y ∂ θ - ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas parciais:

∂ x ∂ r = ∂ ∂ r e - r s e n θ = - e - r s e n θ

∂ x ∂ θ = ∂ ∂ θ e - r s e n θ = e - r c o s θ

∂ y ∂ r = ∂ ∂ r e r c o s θ = e r c o s θ

∂ y ∂ θ = ∂ ∂ θ e r c o s θ = - e r s e n θ

Certo?

Passo 3

Agora vamos juntar as derivadas do passo 2 com a definição do passo 1 :

∂ x , y ∂ ( r , θ ) = - e - r s e n θ . - e r s e n θ - ( e r c o s θ . e - r c o s θ )

Fazendo as multiplicações temos:

= e - r + r s e n 2 θ - e - r + r cos 2 ⁡ θ = s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ

E usando a relação trigonométrica do cosseno de arco duplo:

∂ x , y ∂ ( r , θ ) = - cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = - cos ⁡ 2 θ

Resposta

- cos ⁡ 2 θ

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