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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.10 - Ex. 3

Determine o jacobiano da transformação.

x = e^(- r) s e n theta , y = e^r c o s theta

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Para calcular o jacobiano dessa transformação devemos primeiro lembrar como se calcula o jacobiano. Lembrando da definição 7 do livro texto, o jacobiano de uma transformação T dada por x = g ( r , theta ) e y = h ( r , theta ) é:

(del (x , y))/(del ( r , theta )) = |[[(del x)/(del r),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del r),(del y)/(del theta)]]| = (del x)/(del r) (del y)/(del theta) - (del x)/(del theta) (del y)/(del r)

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas parciais:

(del x)/(del r) = (del)/(del r) (e^(- r) s e n theta) = - e^(- r) s e n theta

(del x)/(del theta) = (del)/(del theta) (e^(- r) s e n theta) = e^(- r) c o s theta

(del y)/(del r) = (del)/(del r) (e^r c o s theta) = e^r c o s theta

(del y)/(del theta) = (del)/(del theta) (e^r c o s theta) = - e^r s e n theta

Certo?

Passo 3

Agora vamos juntar as derivadas do passo 2 com a definição do passo 1 :

(del (x , y))/(del ( r , theta )) = - e^(- r) s e n theta . - e^r s e n theta - ( e^r c o s theta . e^(- r) c o s theta )

Fazendo as multiplicações temos:

= e^(- r + r) s e n^2 theta - e^(- r + r) cos^2 theta = s e n^2 theta - cos^2 theta

E usando a relação trigonométrica do cosseno de arco duplo:

(del (x , y))/(del ( r , theta )) = - (cos^2 theta - s e n^2 theta) = - cos (2 theta)

Resposta

- cos (2 theta)

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