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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 14

Calcular ∭ T d V , onde T é a casca esférica delimitada por x 2 + y 2 + z 2 = 9 e x 2 + y 2 + z 2 = 16

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Beleza! Agora que já sabemos como é a figura podemos deduzir que as direções são limitadas pela esfera maior x 2 + y 2 + z 2 = 16   e pela menor x 2 + y 2 + z 2 = 9 .  

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas:

x 2 + y 2 + z 2 = p 2

Para a maior:

p 2 = 16

p = ± 4

Para a menor:

p 2 = 9

p = ± 3

Como p é a distância do ponto à origem, a máxima distância será 4 e a menor, 3.

Então p estará entre:

3 ≤ p ≤ 4

Legal, agora só precisamos de ф e θ .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Como estamos trabalhando com duas esferas:

0 ≤ ф ≤ π

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, então:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭ T d V = ∭ T p 2 . s e n   ф . d p . d θ . d ф

= ∬ R ∫ 3 4 p 2 . d p s e n   ф . d θ . d ф

Resolvendo:

∫ 3 4 p 2 . d p = p 3 3 = 4 3 - 3 3 3 = 37 3

= 37 3

Aplicando na integral:

= ∫ 0 π [ ∫ 0 2 π 37 3 d θ ] s e n   ф . d ф    

Resolvendo a integral:

∫ 0 2 π 37 3 d θ = 74 π 3

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ 0 π 74 π 3   . s e n   ф . d ф      

= 74 π 3 ∫ 0 π s e n   ф . d ф  

= 74 π 3 ( - c o s   ф )

Aplicando o intervalo:

= - 74 π 3 ( c o s   π - c o s   0 )

= - 74 π 3 - 1 - 1

= 148 π 3

Gostaram ?

Resposta

148 π 3

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