Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 14

Calcular ∭ T d V , onde T é a casca esférica delimitada por x 2 + y 2 + z 2 = 9 e x 2 + y 2 + z 2 = 16

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Beleza! Agora que já sabemos como é a figura podemos deduzir que as direções são limitadas pela esfera maior x 2 + y 2 + z 2 = 16   e pela menor x 2 + y 2 + z 2 = 9 .  

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas:

x 2 + y 2 + z 2 = p 2

Para a maior:

p 2 = 16

p = ± 4

Para a menor:

p 2 = 9

p = ± 3

Como p é a distância do ponto à origem, a máxima distância será 4 e a menor, 3.

Então p estará entre:

3 ≤ p ≤ 4

Legal, agora só precisamos de ф e θ .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Como estamos trabalhando com duas esferas:

0 ≤ ф ≤ π

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, então:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭ T d V = ∭ T p 2 . s e n   ф . d p . d θ . d ф

= ∬ R ∫ 3 4 p 2 . d p s e n   ф . d θ . d ф

Resolvendo:

∫ 3 4 p 2 . d p = p 3 3 = 4 3 - 3 3 3 = 37 3

= 37 3

Aplicando na integral:

= ∫ 0 π [ ∫ 0 2 π 37 3 d θ ] s e n   ф . d ф    

Resolvendo a integral:

∫ 0 2 π 37 3 d θ = 74 π 3

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ 0 π 74 π 3   . s e n   ф . d ф      

= 74 π 3 ∫ 0 π s e n   ф . d ф  

= 74 π 3 ( - c o s   ф )

Aplicando o intervalo:

= - 74 π 3 ( c o s   π - c o s   0 )

= - 74 π 3 - 1 - 1

= 148 π 3

Gostaram ?

Resposta

148 π 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma região sólida no primeiro octante é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 2 . A densidade do sólido é δ x , y , z = 2 x
Um sólido no primeiro octante é delimitado pelos planos y = 0 e z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x 2 e x = y 2 (veja a figura a seguir). Sua função de densidade é δ x , y , z = k x y , sendo k consta
As integrais anteriores sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens fornecem o mesmo valor e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. ∫ 0 2
As integrais anteriores sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens fornecem o mesmo valor e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. ∫ π 6
Calcule as integrais em coordenadas esféricas:int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(3)) int_(sec (varphi))^2 3 rho^2 s e n (varphi) d rho d varphi d theta