Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 10
Calcular , onde T é a esfera e exterior ao cone
Passo 1
Bora começar?!
Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:
Beleza! Agora que já sabemos como é a figura podemos deduzir que z é limitado superiormente pela esfera e seu interior é ainda limitado pelo cone .
Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas:
Como p é a distância do ponto à origem, a máxima distância será 3 e a menor, zero.
Então p estará entre:
Legal, agora só precisamos de e
Já sabemos que é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Pela equação do cone temos que:
Em coordenadas esféricas podemos substituir:
Sendo assim, o cone ocupa um ângulo com o eixo z de 0 até Se queremos a área externa a ele, um ponto P qualquer que não pertença ao cone deverá fazer um ângulo de
O é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, então:
Passo 2
Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:
Resolvendo:
Aplicando na integral:
Resolvendo a integral:
Passo 3
Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:
Aplicando o intervalo:
Legal né ?