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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 8

Calcular ∭ T z . d V , onde T é a região interior às superfícies z = 1 4 ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 + z 2 = 5 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

O nosso cilindro é delimitado superiormente pela esfera e inferiormente pelo paraboloide, certo?

Então z estará entre:

z = 1 4 ( x 2 + y 2 )

E:

x 2 + y 2 + z 2 = 5

z = ± 5 - x 2 - y 2

Sendo assim, em coordenadas cilíndricas para facilitar a integral:

1 4 r 2 ≤ z ≤ 5 - r 2

Agora nós precisamos analisar onde as duas superfícies se interceptam para pormos achar o raio, ok?

Da equação do paraboloide:

x 2 + y 2 = 4 z

Colocando na equação da esfera:

z 2 + 4 z = 5

z 2 + 4 z - 5 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau:

z = 1         o u           z = - 5

Pelo desenho nós vemos que elas se encontram quando z = 1 , substituindo em uma das equações em coordenadas cilíndricas:

r 2 = x 2 + y 2 = 4 1 = 4

r = ± 2

Sendo assim,

0 ≤ r ≤ 2

Só falta nós acharmos o ângulo, mas como ambos fazem uma volta completa:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭ T d V = ∬ R ∫ 1 4 r 2 5 - r 2 z . d z r d r d θ

Resolvendo:

∫ 1 4 r 2 5 - r 2 z . d z = z 2 2 = 1 2 5 - r 2 2 - - 1 4 r 2 2

= 5 - r 2 2 - r 4 32

Sendo assim:

= ∬ R 5 - r 2 2 - r 4 32 r d r d θ

Aplicando na integral:

= ∫ 0 2 π [ ∫ 0 2 5 - r 2 2 - r 4 32 . r d r ]   d θ  

Resolvendo a integral:

∫ 0 2 5 - r 2 2 - r 4 32 . r d r = ∫ 0 2 5 r 2 - r 3 2 - r 5 32 . d r

= 5 2 × r 2 2 - 1 2 × r 4 4 - 1 32 × r 6 6

Aplicando o intervalo:

= 5 2 × 2 2 2 - 1 2 × 2 4 4 - 1 32 × 2 6 6

= 5 2 × 2 - 1 2 × 4 - 1 32 × 64 6

= 5 - 2 - 1 3 = 8 3

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ 0 2 π [ 8 3 ]     d θ  

= 8 3 θ

Aplicando o intervalo:

= 16 π 3

Gostaram dessa?

Resposta

16 π 3

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