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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.9 - Ex. 6

Determine o jacobiano da transformação.

x = e^(u - v) , y = e^(u + v) , z = e^(u + v + w)

Passo 1

O jacobiano é o determinante de uma matriz de derivadas parciais. Como estamos fazendo uma transformação no plano, então, o jacobiano será o determinante da seguinte matriz:

J (u , v) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v),(del x)/(del w)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v),(del y)/(del w)],[(del z)/(del u),(del z)/(del v),(del z)/(del w)]]|

Sendo assim, precisamos determinar as derivadas parciais tanto de x quanto de y em relação as nossas novas variáveis u e v !

Passo 2

Vamos começar determinando as derivadas parciais. Para x , temos:

(del x)/(del u) = e^(u - v)

(del x)/(del v) = - e^(u - v)

(del x)/(del w) = 0

Já para y , temos:

(del y)/(del u) = e^(u + v)

(del y)/(del v) = e^(u + v)

(del y)/(del w) = 0

Por fim, para z , temos:

(del z)/(del x) = e^(u + v + w)

(del z)/(del y) = e^(u + v + w)

(del z)/(del w) = e^(u + v + w)

Portanto,

J (u , v) = |[[e^(u - v),-,e^(u - v),0],[e^(u + v),e^(u + v),0],[e^(u + v + w),e^(u + v + w),e^(u + v + w)]]| = e^(u + v + w) * |[[e^(u - v),-,e^(u - v)],[e^(u + v),e^(u + v)]]|

J (u , v) = e^(u + v + w) * (e^(2 u) + e^(2 u))

J (u , v) = e^(u + v + w) * 2 * e^(2 u)

J (u , v) = 2 * e^(3 u + v + w)

Pronto, este é o jacobiano da nossa transformação!

Resposta

J (u , v) = 2 * e^(3 u + v + w)

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