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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 2

Calcular ∭_T^() ( sqrt(x^2 + y^2) ) d V , onde T é a região limitada por z = x^2 + y^2 - 4 e z = 4 - x^2 - y^2 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Sendo assim, z é limitada superiormente por z = 4 - x^2 - y^2 e inferiormente por z = x^2 + y^2 - 4 .

Em coordenadas cilíndricas:

z = 4 - r^2

z = r^2 - 4

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭_T^() ( sqrt(x^2 + y^2) ) d V = ∬_R^() [int_(r^2 - 4)^(4 - r^2) sqrt(r^2) d z] r d r d theta

Resolvendo:

int_(r^2 - 4)^(4 - r^2) sqrt(r^2) d z = r z = r (4 - r^2 - ( r^2 - 4 ))

= r ( 8 - 2 r^2 )

= 8 r - 2 r^3

Sendo assim:

= ∬_R^() ( 8 r - 2 r^3 ) r d r d theta

= ∬_R^() ( 8 r^2 - 2 r^4 ) d r d theta

Para achar o intervalo de integração de r basta igualarmos as duas funções de z:

4 - r^2 = r^2 - 4

2 r^2 = 8

r = +- 2

Sendo assim:

R : { [[0,<=,r,<=,2],[0,<=,theta,<=,2,pi]]

Aplicando na integral:

= 2 int_0^(2 pi) [ int_0^2 ( 8 r^2 - 2 r^4 ) d r ] d theta

Resolvendo a integral:

int_0^2 ( 8 r^2 - 2 r^4 ) d r = (8 r^3)/(3) - (2 r^5)/(5)

Aplicando o intervalo:

= (8 . ( 2^3 ))/(3) - (2 (2^5))/(5) = (64)/(3) - (64)/(5)

Tirando o MMC:

= (320 - 192)/(15) = (128)/(15)

Passo 3

= int_0^(2 pi) (128)/(15) d theta

= (128)/(15) int_0^(2 pi) d theta

= (128)/(15) theta

Aplicando o intervalo:

= 2 pi [(128)/(15)]

= (256)/(15) pi

O que acharam desta?

Resposta

(256)/(15) pi

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