Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 ) d V , onde T é a região limitada por z = x^2 + y^2 - 4 e z = 4 - x^2 - y^2

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Sendo assim, z é limitada superiormente por z = 4 - x 2 - y 2 e inferiormente por z = x 2 + y 2 - 4 .

Em coordenadas cilíndricas:

z = 4 - r 2

z = r 2 - 4

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭ T ( x 2 + y 2 ) d V = ∬ R ∫ r 2 - 4 4 - r 2 r 2 d z r d r d θ

Resolvendo:

∫ r 2 - 4 4 - r 2 r 2 d z = r z = r 4 - r 2 - ( r 2 - 4 )

= r ( 8 - 2 r 2 )

= 8 r - 2 r 3

Sendo assim:

= ∬ R ( 8 r - 2 r 3 ) r d r d θ

= ∬ R ( 8 r 2 - 2 r 4 ) d r d θ

Para achar o intervalo de integração de r basta igualarmos as duas funções de z:

4 - r 2 = r 2 - 4

2 r 2 = 8

r = ± 2

Sendo assim:

R : { 0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π  

Aplicando na integral:

= 2 ∫ 0 2 π [ ∫ 0 2 ( 8 r 2 - 2 r 4 ) d r ] d θ  

Resolvendo a integral:

∫ 0 2 ( 8 r 2 - 2 r 4 ) d r = 8 r 3 3 - 2 r 5 5

Aplicando o intervalo:

= 8 . ( 2 3 ) 3 - 2 2 5 5 = 64 3 - 64 5

Tirando o MMC:

= 320 - 192 15 = 128 15

Passo 3

= ∫ 0 2 π 128 15 d θ  

= 128 15 ∫ 0 2 π d θ

= 128 15 θ

Aplicando o intervalo:

= 2 π 128 15

= 256 15 π

O que acharam desta?

Resposta

256 15 π

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