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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.10 - Ex. 4

Determine o jacobiano da transformação.

x = e^(s + t) , y = e^(s - t)

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Para calcular o jacobiano dessa transformação devemos primeiro lembrar como se calcula o jacobiano. Lembrando da definição 7 do livro texto, o jacobiano de uma transformação T dada por x = g ( s , t ) e y = h ( s , t ) é:

(del (x , y))/(del ( s , t )) = |[[(del x)/(del s),(del x)/(del t)],[(del y)/(del s),(del y)/(del t)]]| = (del x)/(del s) (del y)/(del t) - (del x)/(del t) (del y)/(del s)

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas parciais:

(del x)/(del s) = (del)/(del s) (e^(s + t)) = e^(s + t)

(del x)/(del t) = (del)/(del t) (e^(s + t)) = e^(s + t)

(del y)/(del s) = (del)/(del s) (e^(s - t)) = e^(s - t)

(del y)/(del t) = (del)/(del t) (e^(s - t)) = - e^(s - t)

Certo?

Passo 3

Agora vamos juntar as derivadas do passo 2 com a definição do passo 1 :

(del (x , y))/(del ( s , t )) = e^(s + t) . - e^(s - t) - [ e^(s + t) . e^(s - t) ]

Fazendo as multiplicações temos:

= - e^(s + t + s - t) - e^(s + t + s - t) = - e^(2 s) - e^(2 s)

E juntando as duas exponenciais temos o jacobiano:

(del (x , y))/(del ( s , t )) = - 2 e^(2 s)

Resposta

- 2 e^(2 s)

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