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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.10 - Ex. 5

Determine o jacobiano da transformação.

x = (u)/(v) , y = (v)/(w) , z = (w)/(u)

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Para calcular o jacobiano dessa transformação devemos primeiro lembrar como se calcula o jacobiano. Lembrando da definição 7 do livro texto, o jacobiano de uma transformação T dada por x = g ( u , v , w ) , y = h ( u , v , w ) e z = h ( u , v , w ) é:

(del (x , y , z))/(del ( u , v , w )) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v),(del x)/(del w)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v),(del y)/(del w)],[(del z)/(del u),(del z)/(del v),(del z)/(del w)]]|

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas parciais:

Primeiro em x :

(del x)/(del u) = (del)/(del u) ((u)/(v)) = (1)/(v)

(del x)/(del v) = (del)/(del v) ((u)/(v)) = - (u)/(v^2)

(del x)/(del w) = (del)/(del w) ((u)/(v)) = 0

Agora em y :

(del y)/(del u) = (del)/(del u) ((v)/(w)) = 0

(del y)/(del v) = (del)/(del v) ((v)/(w)) = (1)/(w)

(del y)/(del w) = (del)/(del w) ((v)/(w)) = - (v)/(w^2)

E por fim em z :

(del z)/(del u) = (del)/(del u) ((w)/(u)) = - (w)/(u^2)

(del z)/(del v) = (del)/(del v) ((w)/(u)) = 0

(del z)/(del w) = (del)/(del w) ((w)/(u)) = (1)/(u)

Certo?

Passo 3

Agora vamos juntar as derivadas do passo 2 com a definição do passo 1 :

|[[(del x)/(del u),(del x)/(del v),(del x)/(del w)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v),(del y)/(del w)],[(del z)/(del u),(del z)/(del v),(del z)/(del w)]]| = |[[(1)/(v),-,(u)/(v^2),0],[0,(1)/(w),-,(v)/(w^2)],[-,(w)/(u^2),0,(1)/(u)]]|

Agora basta resolver esse determinante de terceira ordem! Bora lá?

|[[(del x)/(del u),(del x)/(del v),(del x)/(del w)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v),(del y)/(del w)],[(del z)/(del u),(del z)/(del v),(del z)/(del w)]]| = ((1)/(v) . (1)/(w) . (1)/(u)) + (- (u)/(v^2) . - (v)/(w^2) . - (w)/(u^2)) + (0) - (0) - (0) - ( 0 )

Agora fazendo as simplificações:

= ((1)/(v u w)) - ((1)/(u v w)) = 0

E o jacobiano dessa transformação é zero.

Resposta

0

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