23. Calcular ∬ R d x   d y 1 - x + y   onde R é a região descrita na figura 7.19.

Passo 1

Temos que a representação gráfica é a seguinte:

Analisando o gráfico, temos a seguinte integral de acordo com os limites encontrados:

∫ 0 1 ∫ - 1 - y   d x   d y 1 - x + y

Vamos integrar em relação a x primeiro,

∫ - 1 - y 1 - x - y - 1 / 2   d x =

- 1 - x + y 1 2 - 1 - y = - 2 1 + 2 y 1 2 + 2 1 + 1 + y 1 2 =

= - 2 1 + 2 y 1 2 + 2 2 + y 1 2  

Passo 2

∫ 0 1 - 2 1 + 2 y 1 2 + 2 2 + y 1 2     d y =

- 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 + 2 y 3 2 + 2 ⋅ 2 + y 3 2 3 / 2   0 1 =

2 3 + 2 3 - 8 3 2

Resposta

2 3 + 2 3 - 8 3 2

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