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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.6 - Ex. 20

20. Calcular ∬_R^() (x + y) d x d y onde R é a região descrita na figura 7.17

∬ p (x) q ( y ) d x d y = int_a^b p ( x ) * int_c^d q ( y ) d y

Passo 1

Temos a seguinte representação gráfica:

Analisando o gráfico, temos uma figura que não pode ser representada em apenas uma integral dupla, logo precisamos dividir em duas:

int_0^((1)/(2)) int_((y)/(4))^(4 y) ( x + y ) d x d y + int_((1)/(2))^2 int_((y)/(4))^((1)/(y)) ( x + y ) d x d y

Primeiro iremos resolver o primeiro termo dessa integral, integrando em relação a x primeiro.

int_((y)/(4))^(4 y) ( y + x ) d x =

(((x^2)/(2) + y x)|_((y)/(4))^(4 y) = (16 y^2)/(2) + 4 y^2 - (y^2)/(32) - (y^2)/(4)

= 8 y^2 + 4 y^2 - (y^2)/(32) - (1)/(4) y^2

Passo 2

int_0^(1 // 2) (8 y^2 + 4 y^2 - (y^2)/(32) - (1)/(4) y^2) d y =

int_0^(1 // 2) ((375)/(32)) d y =

((375)/(32) * (y^3)/(3)|_0^((1)/(2)) = (375)/(768)

Passo 3

Agora iremos resolver o segundo termo:

int_((1)/(2))^2 int_((y)/(4))^((1)/(y)) ( x + y ) d x d y

Vamos integrar em relação a x primeiro,

int_((y)/(4))^((1)/(y)) ( x + y ) d x =

(((x^2)/(2) + y x)|_((y)/(4))^((1)/(y)) = (1)/(2) * (1)/(y^2) + y * (1)/(y) - (1)/(2) * (y^2)/(16) - y * (y)/(4)

= (1)/(2 y^2) + 1 - (y^2)/(32) - (y^2)/(4)

Passo 4

int_((1)/(2))^2 ((1)/(2 y^2) + 1 - (y^2)/(32) - (y^2)/(4)) d y =

(( - (1)/(2 y) + y - (y^3)/(96) - (y^3)/(12)|_((1)/(2))^2 = (1161)/(768)

Passo 5

Ao juntar as integrais iniciais, temos:

(1161)/(768) + (37 5)/(768) = (1536)/(768)

= 2

Resposta

2

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12. Calcular ∬_R^() (x^2)/(y^2) d x d y onde R é a região delimitada por y = x ; y = (1)/(x) e x = 2 .
11. Calcular ∬ R ( 2 x + y )d xd y onde R é a região delimitada por x = y 2 - 1; x = 5 ; y = - 1ey = 2 .
5. Calcular ∬_R^() ( 8 - x - y ) d x d y , onde R é a região delimitada por y = x^2 e y = 4 .
7. Calcular ∬ R sen ⁡ x sen ⁡ yd x d y , onde R é o retângulo 0 ≤ x ≤ π 2 e 0 ≤ y ≤ π 2 .
19. Sejam p(x) e q(y) funções contínuas. Se R é o retângulo a , b ×[ a , d ] , verificar que ∬ p x q ( y ) d x d y = ∫ a b p ( x ) ⋅ ∫ c d q ( y ) d y