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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 7

Calcular ∭ T y . d V , onde T é a região interior às superfícies z = 1 4 ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 + z 2 = 5 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

O nosso cilindro é delimitado superiormente pela esfera e inferiormente pelo paraboloide, certo?

Então z estará entre:

z = 1 4 ( x 2 + y 2 )

E:

x 2 + y 2 + z 2 = 5

z = ± 5 - x 2 - y 2

Sendo assim:

1 4 ( x 2 + y 2 ) ≤ z ≤ 5 - x 2 - y 2

Agora nós precisamos analisar o plano xy, ou seja, z = 0 . Olhando a esfera:

x 2 + y 2 = 5

x = ± 5 - y 2

Analisando o termo dentro da raiz:

5 - y 2 ≥ 0

- y 2 ≥ - 5

y 2 ≤ 5

y ≤ ± 5

Colocando na forma de intervalo:

- 5 ≤ y ≤ 5

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭ T d V = ∬ R ∫ 1 4 ( x 2 + y 2 ) 5 - x 2 - y 2 d z d x . y d y

Resolvendo:

∫ 1 4 ( x 2 + y 2 ) 5 - x 2 - y 2 d z = z = 5 - x 2 - y 2 - 1 4 ( x 2 + y 2 )

= - 1 4 x 2 + y 2 + 5 - x 2 - y 2

Sendo assim:

= ∬ R - 1 4 x 2 + y 2 + 5 - x 2 - y 2 d x . y d y

Aplicando na integral:

= ∫ - 5 5 [ ∫ - 5 - y 2 5 - y 2 - 1 4 x 2 + y 2 + 5 - x 2 - y 2 . d x ]   y d y  

Resolvendo a integral:

∫ - 5 - y 2 5 - y 2 - 1 4 x 2 + y 2 + 5 - x 2 - y 2 . d x

= ∫ - 5 - y 2 5 - y 2 - 1 4 x 2 + y 2 . d x + ∫ - 5 - y 2 5 - y 2 5 - x 2 - y 2 . d x

= - 1 4 ∫ - 5 - y 2 5 - y 2 x 2 + y 2 . d x + ∫ - 5 - y 2 5 - y 2 5 - x 2 - y 2 . d x

= - 1 4 x 3 3 + y 2 x + ∫ - 5 - y 2 5 - y 2 5 - x 2 - y 2 . d x

Para a segunda integral vamos usar a substituição:

x = 5 - y 2 . s e n   u

d x = 5 - y 2 . cos ⁡ u . d u

O novo intervalo será:

s e n   u = 1 → u = π 2

s e n   u = - 1 → u = π 2

= ∫ - π 2 π 2 5 - y 2 - 5 - y 2 . s e n   u 2 . ( 5 - y 2 . cos ⁡ u . d u )

= ∫ - π 2 π 2 ( 5 - y 2 ) - ( 5 - y 2 ) s e n 2 u . ( 5 - y 2 . cos ⁡ u . d u )

Reorganizando e aplicando a identidade:

= ∫ - π 2 π 2 ( 5 - y 2 ) cos 2 ⁡ u . ( 5 - y 2 . cos ⁡ u . d u )

= ( 5 - y 2 ) ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ u . d u

Lembrando que:

cos 2 ⁡ u = 1 + cos ⁡ ( 2 u ) 2

= 5 - y 2 2 ∫ - π 2 π 2 ( 1 + cos ⁡ ( 2 u ) ) . d u

= 5 - y 2 2 u + 1 2 s e n   2 u

= 5 - y 2 2 u + 1 2 s e n   2 u π 2 - π 2

Aplicando o intervalo:

= - 1 4 2 y 2 5 - y 2 + 2 5 - y 2 3 2 3 + 5 - y 2 2 π + 1 2 ( s e n   π - s e n   - π

= - 1 2 y 2 5 - y 2 + ( 5 - y 2 ) 5 - y 2 3 + π ( 5 - y 2 ) 2

= - ( 2 y 2 + 5 ) 5 - y 2 6 + π ( 5 - y 2 ) 2

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ - 5 5 - 2 y 2 + 5 5 - y 2 6 + π 5 - y 2 2   y d y

= - 1 6 ∫ - 5 5 y 2 y 2 + 5 5 - y 2 d y + π 2 ∫ - 5 5 y 5 - y 2 d y

Para facilitar nossa vida nós precisamos lembrar que a função é contínua neste intervalo de integração, certo?

Além de ser uma função ímpar, ou seja:

f - x = - f ( x )

Para integrais de função ímpar e contínuas no intervalo de integração nós temos:

- 1 6 ∫ - 5 5 y 2 y 2 + 5 5 - y 2 d y + π 2 ∫ - 5 5 y 5 - y 2 d y = 0

E é isso aí galera !!

Resultado muito estranho, mas certinho !!

Resposta

0

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