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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 46

Encontre os volumes dos sólidos nos Exercícios 43-48.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que as equações que delimitam o sólido são dadas por:

z = - 3 c o s ⁡ θ  e  z = x 2 + y 2

Desse modo, vamos resolver este problema em coordenadas cilíndricas.

d V = r d z d r d θ

Passo 2

Agora, vamos determinar o volume por integração tripla, usando simetria em relação ao eixo x :

V = 2 ∫ π 2 π     ∫ 0 - 3 c o s ⁡ θ     ∫ 0 r     d z r d r d θ = 2 ∫ π 2 π     ∫ 0 - 3 c o s ⁡ θ     r 2 d r d θ V = 2 3 ∫ π 2 π     - 27 c o s 3 ⁡ θ d θ

Temos, então, integral de ∫ c o s 3 ⁡ a θ d θ = c o s n - 1 ⁡ ( a θ ) s e n ⁡ ( a θ ) n a + n - 1 n ∫ c o s n - 2 ⁡ ( a θ ) d θ Logo:

V = - 18 c o s 2 ⁡ θ s e n ⁡ θ 3 π 2 π + 2 3 ∫ π 2 π     c o s ⁡ θ d θ V = - 12 [ ( s e n ⁡ π ) - ( s e n ⁡ 0 ) ] = 12

Resposta

Portanto, verificamos que o volume da região vale 12 .

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Utilize coordenadas cilíndricas.Ache o volume da região E limitada pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 36 - 3 x 2 - 3 y 2 .Encontre o centroide do E (centro de massa no caso em que a densidade é co
Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.27. ∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x zd z d x d y
Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral.16. ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 9 - r 2 r d z d r d θ
Calcule ∭ E z d V , onde E está acima do parabolóide z = x 2 + y 2 e abaixo do plano z = 2 y .
Use uma ferramenta gráfica para desenhar o sólido delimitado pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 5 - x 2 - y 2 .