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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 10

int_0^2 int_(r - 2)^(sqrt(4 - r^2)) int_0^(2 pi) (r s e n (theta) + 1) r d theta d z d r

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

int_0^2 int_(r - 2)^(sqrt(4 - r^2)) int_0^(2 pi) (r^2 s e n (theta) + r) d theta d z d r

Passo 2

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

int_0^2 int_(r - 2)^(sqrt(4 - r^2)) ( r^2 int_0^(2 pi) s e n (theta) d theta + r int_0^(2 pi) d theta ) d z d r

int_0^2 int_(r - 2)^(sqrt(4 - r^2)) ( r^2 [cos (theta)]_0^(2 pi) + r [theta]_0^(2 pi) ) d z d r

int_0^2 int_(r - 2)^(sqrt(4 - r^2)) 2 pi r d z d r

Passo 3

int_0^2 2 pi r [z]_(r - 2)^(sqrt(4 - r^2)) d r

int_0^2 2 pi r (sqrt(4 - r^2) - (r - 2)) d r

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

( 2 pi int_0^2 r sqrt(4 - r^2) d r - 2 pi int_0^2 r (r - 2) d r )

E novamente usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

( 2 pi int_0^2 r sqrt(4 - r^2) d r - 2 pi ( int_0^2 r^2 d r - 2 int_0^2 r d r ) )

Para o primeiro termo de d r , façamos u = 4 - r^2 , logo temos que d u = - 2 r d r de modo que d r = - (d u)/(2 r) e temos que quando r = 0 . u = 4 e r = 2 , u = 0 . Assim:

( 2 pi int_4^0 - (sqrt(u))/(2) d u - 2 pi ( int_0^2 r^2 d r - 2 int_0^2 r d r ) )

( pi int_4^0 - sqrt(u) d u - 2 pi ( int_0^2 r^2 d r - 2 int_0^2 r d r ) )

Aplicando a propriedade de que int_a^b f (x) d x = - int_b^a f (x) d x

( - pi int_0^4 - sqrt(u) d u - 2 pi ( int_0^2 r^2 d r - 2 int_0^2 r d r ) )

(pi ((2)/(3) [u^((3)/(2))]_0^4 - 2 pi ((1)/(3) [r^3]_0^2 - [r^2]_0^2)))

8 pi

Resposta

8 pi

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ θ ≤ π / 2 ,r ≤ z ≤ 2
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x 2 + y 2 d V , onde E é a região que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 16 e entre os planos z = - 5 e z = 4 .
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x 2 d V , onde E é o sólido que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 , acimo do plano z = 0 e abaixo do cone z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 .
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x d V , onde E está delimitado pelos planos z = 0 e z = x + y + 5 e pelos cilindros x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9 .