Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 ) d V , onde T é o sólido delimitado por 4 <= x^2 + y^2 + z^2 <= 9

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Como o problema nos disse, nossa região é limitada por duas esferas, a menor, x 2 + y 2 + z 2 = 4 , e a maior, x 2 + y 2 + z 2 = 9 .

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas, começando pela maior:

x 2 + y 2 + z 2 = p 2

p 2 = 9

p = ± 3

Para a menor:

p 2 = 4

p = ± 2

Então p estará entre:

2 ≤ p ≤ 3

Legal, agora só precisamos de ф e θ .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Na esfera este ângulo pode ir de 0 até 180°, então:

0 ≤ ф ≤ π

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (6) para mudar as variáveis de integração:

∭ T x 2 + y 2 . d V

Lembrando que:

x = p . s e n   ф . cos ⁡   ( θ )

y = p . s e n   ф . s en ⁡   ( θ )

= ∭ T ( p 2 . s e n 2   ф . cos 2 ⁡   θ + p 2 . s e n 2   ф . sen 2 ⁡   ( θ ) ) p 2 . s e n   ф . d p . d θ . d ф

= ∭ T p 2 . s e n 2   ф . ( cos 2 ⁡   θ + sen 2 ⁡   ( θ ) p 2 . s e n   ф . d p . d θ . d ф

= ∭ T p 4 . s e n 3   ф . d p . d θ . d ф

= ∬ R ∫ 2 3 p 4 . d p s e n 3   ф . d θ . d ф

Resolvendo:

∫ 2 3 p 4 . d p = p 5 5 = 3 5 - 2 5 5 = 211 5

Aplicando na integral:

= ∫ 0 π [ ∫ 0 2 π 211 5 d θ ] s e n 3   ф . d ф    

Resolvendo a integral:

∫ 0 2 π 211 5 d θ = 422 π 5

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ 0 π 422 π 5   . s e n 3   ф . d ф      

= 422 π 5 ∫ 0 π s e n 2   ф . s e n ф   . d ф  

Usando a identidade:

= 422 π 5 ∫ 0 π ( 1 - c o s 2   ф ) . s e n ф   . d ф

Chamando:

u = cos ⁡ ф

d u = - s en ⁡ ф d ф

Aplicando o intervalo:

u = cos ⁡ π = - 1

u = cos ⁡ 0 = 1

= - 422 π 5 ∫ - 1 1 ( 1 - u 2 ) . ( - d u )

= - 422 π 5 ∫ - 1 1 ( u 2 - 1 ) . d u

= - 422 π 5 u 3 3 - u

Agora vamos aplicar o intervalo:

= - 422 π 5 1 3 - - 1 3 3 - 1 - ( - 1 )

= - 422 π 5 2 3 - 2

= - 422 π 5 - 4 3

= 1688 π 15

Prontinhoo!!

Resposta

1688 π 15

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