Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 21
Calcular , onde T é o sólido delimitado por
Passo 1
Bora começar?!
Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:
Como o problema nos disse, nossa região é limitada por duas esferas, a menor, e a maior, .
Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas, começando pela maior:
Para a menor:
Então p estará entre:
Legal, agora só precisamos de e
Já sabemos que é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Na esfera este ângulo pode ir de 0 até 180°, então:
O é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:
Passo 2
Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (6) para mudar as variáveis de integração:
Lembrando que:
Resolvendo:
Aplicando na integral:
Resolvendo a integral:
Passo 3
Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:
Usando a identidade:
Chamando:
Aplicando o intervalo:
Agora vamos aplicar o intervalo:
Prontinhoo!!