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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 15.8 - Ex. 4

Mude de coordenadas retangulares para esféricas.

(a) 1,1 , 2

(b) - 3 , - 3 , - 2

Passo 1

Fala, galera! De boa?

Nossa questãozinha pede para mudarmos as coordenadas retangulares:

1,1 , 2

E:

- 3 , - 3 , - 2

Para coordenadas esféricas.

Ou seja, temos uma coordenada do tipo x , y , z e queremos transformá-la numa coordenada do tipo ( ρ , ϕ , θ ) .

Pra resolver essa questão não tem mistério. Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas esféricas para correlacionarmos com os pontos em coordenadas retangulares equivalentes.

As relações entre coordenadas esféricas ρ , ϕ , θ e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

De maneira inversa, temos que:

ρ = x 2 + y 2 + z 2 cos ⁡ ϕ = z ρ cos ⁡ θ = x ρ sen ⁡ ϕ

Com essas relações em mãos, fazer essa transição fica bem simples.

Bora lá!

Passo 2

  1. x , y , z = 1,1 , 2

Encontrando nosso valor de ρ , substituindo nossos valores em sua equação:

ρ = x 2 + y 2 + z 2

Ficamos com:

ρ = 1 + 1 + 2 = 2

Para ϕ , temos:

cos ⁡ ϕ = z ρ = 2 2

Tirando o arco cosseno de ϕ :

ϕ = π 4

Finalmente, para θ :

cos ⁡ θ = x ρ sen ⁡ ϕ = 1 2 sen ⁡ π 4

Tirando o arco cosseno de θ :

θ = π 4

Portanto, nossa coordenada será:

ρ , ϕ , θ = 2 , π 4 , π 4

Passo 3

(b) x , y , z = - 3 , - 3 , - 2

Aqui fazemos o mesmo processo do passo 2.

ρ = x 2 + y 2 + z 2

Substituindo nossos valores:

= 3 + 9 + 4 = 4

Então:

ρ = 2

Para ϕ , temos:

cos ⁡ ϕ = z ρ = - 1 2

Tirando o arco cosseno de ϕ :

ϕ = 2 π 3

Igualmente para θ :

cos ⁡ θ = x ρ sen ⁡ ϕ = - 3 4 sen ⁡ 2 π 3

Tirando o arco cosseno:

θ = 7 π 6 ⏟ p o i s   x   e   y < 0

Por fim, teremos:

ρ , ϕ , θ = 4 , 7 π 6 , 2 π 3

Resposta

(a) 1,1 , 2 ↔ 2 , π 4 , π 4

(b) - 3 , - 3 , - 2 ↔ 4 , 7 π 6 , 2 π 3

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