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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 23f

Calcular as seguintes integrais:

int_0^3 int_0^(sqrt(9 - x^2)) int_0^(sqrt(9 - x^2 - y^2)) d z d y . d x

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, pela primeira integral nós vemos que o z vai de zero até sqrt(9 - x^2 - y^2) .

Então:

z = sqrt(9 - x^2 - y^2)

x^2 + y^2 + z^2 = 9

Como x e y também partem do zero, nosso desenho ficará assim:

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas cilíndricas, onde:

x^2 + y^2 = r^2

z = sqrt(9 - r^2)

Então z irá:

0 <= z <= sqrt(9 - r^2)

O maior raio será obtido quando z equivale a zero, não é?

x^2 + y^2 + z^2 = 9

r^2 + 0 = 9

r = +- 3

Shooow!! Já temos o intervalo de r:

0 <= r <= 3

Legal, agora só precisamos de theta .

O theta é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, no círculo esse ângulo vai de 0 até 360°, no entanto nós teremos somente ¼ da esfera:

0 <= theta <= (pi)/(2)

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

int_0^3 int_0^(sqrt(9 - x^2)) int_0^(sqrt(9 - x^2 - y^2)) d z d y . d x = int_0^((pi)/(2)) int_0^3 int_0^(sqrt(9 - r^2)) r . d z . d r . d theta

Resolvendo:

int_0^(sqrt(9 - r^2)) r d z = r z = r sqrt(9 - r^2)

Aplicando na integral:

int_0^((pi)/(2)) int_0^3 r sqrt(9 - r^2) . d r . d theta

Resolvendo a integral:

int_0^3 r sqrt(9 - r^2) d r

Chamando:

u = 9 - r^2

d u = - 2 r d r -> - (d u)/(2) = r . d r

Então:

= int_0^3 sqrt(u) (- (d u)/(2)) = - (1)/(2) int_0^3 u^((1)/(2)) . d u

= - (1)/(2) . (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) = - (1)/(3) u^((3)/(2))

Substituindo o u:

= - (1)/(3) ( 9 - r^2 )^((3)/(2))

Aplicando o intervalo:

= - (1)/(3) [(9 - 3^2)^((3)/(2)) - (9 - 0^2)^((3)/(2))]

= - (1)/(3) [- (9)^((3)/(2))] = 9

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= int_0^((pi)/(2)) 9 . d theta

= 9 int_0^((pi)/(2)) d theta = 9 theta

Aplicando o intervalo:

= 9 [(pi)/(2) - 0]

= (9 pi)/(2)

Prontinhoo!!

Resposta

(9 pi)/(2)

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