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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 36

Calcular

I = int int_S^() (1)/(x) d S

Onde S é a superfície

r (u , v) = u vec i + v vec j + (v + 1) vec k

1 <= u <= 2

- 1 <= v <= 1

Passo 1

Então a primeira coisa que vamos fazer é lembrar como é a estrutura da nossa integral

int int_S^() F ( x , y , z ) d S = int int_R^() F ( r (u , v) ) |(del r)/(del u) x (del r)/(del v)| d u d v

Beleza! Feito isso, precisamos apenas parametrizar nossa função escalar e achar (del r)/(del u) x (del r)/(del v)

Vamos pelo mais fácil primeiro. Nossa parametrização é

r (u , v) = u vec i + v vec j + (v + 1) vec k

Ou seja uma maneira de ver isso é

r (u , v) = (u , v , v + 1)

Logo nessa região

x = u

E como nossa função é 1 // x temos que

(1)/(x) = (1)/(u)

Passo 2

Agora a parte de arregaçar as mangas. Vamos calcular (del r)/(del u) x (del r)/(del v) , onde r é r (u , v) = (u , v , v + 1)

Assim derivando parcialmente temos que

r_u = ( 1,0 , 0 )

r_v = ( 0,1 , 1 )

Logo o rotacional é

|(del r)/(del u) x (del r)/(del v)| = [[[vec x,vec y,vec z],[1,,0,0],[0,1,1]]]

|(del r)/(del u) x (del r)/(del v)| = |0,0 , 1| -> 1

Olha só que maravilha ! Essa integral vai ficar tranquilinha

Passo 3

int int_S^() F ( x , y , z ) d S = int int_R^() F ( r (u , v) ) |(del r)/(del u) x (del r)/(del v)| d u d v

= int int_R^() (1)/(u) * 1 d u d v

= v ln u

Vamos calcular os intervalos

1 <= u <= 2

- 1 <= v <= 1

(v|_(- 1)^1 * (ln u|_1^2

= 2 ( ln 2 - ln 1 )

= 2 ln 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

I = int int_S^() (1)/(x) d S = 2 ln 2

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