Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.6 - Ex. 47
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.
A parte da superfície que está acima do círculo
Passo 1
Faala, pessoal!
Essa questão pede pra gente calcular a área de uma superfície, com precisão de quatro casas decimais.
Pra calcular isso, antes vamos escrever essa área como uma integral simples (de uma variável), e usar um software para calcular (no caso, vai ser o WolframAlpha).
A primeira coisa que a gente vai ter que fazer é parametrizar essa superfície, que nesse caso vai ser a parametrização explícita. Ou seja, são parâmetros e:
Aí vamos usar a fórmula:
Depois de calcular e , aplicamos a fórmula e transformamos isso em uma integral de uma variável, pra usarmos o WolframAlpha.
Passo 2
Bom, nossa superfície é definida por:
Então a parametrização é:
Com
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
Derivando em função de , mantendo como constante, vamos usar a regra da cadeia:
E em função de , com constante, de novo usando a regra da cadeia:
Passo 4
Então vamos aplicar a fórmula:
A área da nossa superfície é:
Colocando e em evidência:
Passo 5
Agora pra calcular essa integral, percebe que o domínio
É uma região circular.
Então faz sentido usarmos coordenadas polares:
Sem esquecer do jacobiano!!
Nesse sistema de coordenadas, temos:
Então a região é:
Como é sempre positivo:
E
E reescrevendo o integrando:
Voltando pra integral:
Passo 6
Vamos começar a calcular essa integral, de dentro pra fora. Primeiro em função de , com constante:
Como o integrando só depende de , ele pode sair dessa primeira integral:
E a integral fica:
Passo 7
Agora vamos jogar essa integral no WolframAlpha:
Com precisão de quatro casas decimais, temos: