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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 31

Calcular

int int_S^() sqrt((x^2 + y^2)) d S

Onde S é a superfície lateral do cone (x^2)/(4) + (y^2)/(4) - (z^2)/(9) = 0 , 0 <= z <= 16

Passo 1

Podemos resolver esse exercício resolvendo a integral da seguinte maneia

int int_S^() f d S = int int_R^() f (x , y , z ( x , y )) sqrt(1 + ((del z)/(del y))^2 + ((del z)/(del x))^2) d y d x

OU seja projetando a região no plano XY e parametrizando Z em função de X e Y

Primeiro vamos visualizar a região que vamos projetar

Vamos ter esse circulo de raio 32/3 . Nossa parametrização para z fica

z = (3)/(2) sqrt(x^2 + y ²)

Passo 2

Vamos calcular as parciais de z

z_x = (3)/(2) (2 x)/(2 sqrt(x^2 + y^2)) -> (3)/(2) (x)/(sqrt(x^2 + y^2))

O mesmo raciocínio vale para y

z_y = (3)/(2) (y)/(sqrt(x^2 + y^2))

Passo 3

Vamos agora montar nossa integral

int_()^() int_()^() √ (x^2 + y^2) sqrt(1 + ((3)/(2) (x)/(sqrt(x^2 + y^2)))^2 + ((3)/(2) (y)/(sqrt(x^2 + y^2)))^2) d y d x

= int_()^() int_()^() √ (x^2 + y^2) sqrt(1 + (9)/(4) (x ²)/(x^2 + y^2) + (9)/(4) (y ²)/(x^2 + y^2)) d y d x

= int_()^() int_()^() √ (x^2 + y^2) sqrt((4 ( x^2 + y^2 ))/(4 ( x^2 + y^2 )) + (9)/(4) (x ²)/(x^2 + y^2) + (9)/(4) (y ²)/(x^2 + y^2)) d y d x

= int_()^() int_()^() √ (x^2 + y^2) sqrt((4 x^2 + 4 y^2 + 9 x^2 + 9 y^2)/(4 ( x^2 + y^2 ))) d y d x

Vamos unir as raízes

= int_()^() int_()^() sqrt(((x^2 + y^2))/(( x^2 + y^2 )) (4 x^2 + 4 y^2 + 9 x^2 + 9 y^2)/(4)) d y d x

= int_()^() int_()^() sqrt((13 x^2 + 13 y^2)/(4)) d y d x

= sqrt((13)/(4)) int_()^() int_()^() sqrt(x^2 + y^2) d y d x

Agora chegamos a um impasse. Integrar uma região circular em coord. Cartesianas é pedir para morrer bem lentamente. Seria mais interessante ( e muito mais rápido nós fazermos a passagem para polar – Lembrando que temos que multiplicar pelo jacobiano nessa conversão 😉 ). Para convertermos usamos a equação

x^2 + y^2 = r ²

Assim nossa integral fica

= sqrt((13)/(4)) int_0^(2 pi) int_0^((32)/(3)) sqrt(r^2) r d r d theta

= sqrt((13)/(4)) int_0^(2 pi) int_0^((32)/(3)) r^2 d r d theta

Os limites de integração em polar são muito mais fáceis de enxergar. O raio cresce de 0 a 32/3 e o ângulo varia em 2 pi . Percebeu como agora essa integral ficou mamão com açúcar!

sqrt((13)/(4)) int_0^(2 pi) int_0^((32)/(3)) r^2 d r d theta

= 2 pi sqrt((13)/(4)) ([(r^3)/(3)]|_0^((32)/(3))

= 2 pi sqrt((13)/(4)) * (1)/(3) ((32)/(3))^3

Ficou um número bem estranho mas conseguimos resolver com razoável grau de facilidade (Se compararmos com a conta que teríamos em cartesianas ) rsrs. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

int int_S^() sqrt((x^2 + y^2)) d S = (sqrt((13)/(4)) pi 2^(16))/(3^4)

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