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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 32

Calcular

∫ ∫ S x z   d S  

Onde S é a superfície y   =   x ²   , delimitada pelos planos z = 0 , z = 4   , x = 0   ,   x = 2

Passo 1

Quando vemos uma equação de apenas duas variáveis como por exemplo y = x ² temos que entender que em 3 dimensoes essa curva vira um plano. Podemos ver esse plano abaixo

E neste exercício onde temos um campo escalar, não temos muito truques a que recorrer. Temos que seguir a regra abaixo

∫ ∫ S f ( x , y )   d S   = ∫ ∫ R f ( r ( u , v ) ) ∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v   d u d v

Ou seja,

1 º nossa função escalar, parametrizamos ela

2 º Depois multiplicamos pelo rotacional das derivadas parciais dessa parametrização

3º Por fim, integramos.

Passo 2

Temos uma região parabólica, logo uma boa parametrização é algo do tipo

r   u ,   z =     u   ,   u 2 , z

0 ≤ u ≤ 2

0 ≤ z ≤ 4

Assim quando projetarmos teremos a seguinte região no plano XY

Beleza !!! Já temos por onde começar. Vamos agora achar as derivadas parciais

r u =   1 ,   2 u , 0

r z = 0,0 , 1  

Agora vamos fazer o rotacional das derivadas parciais

∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v =   x → y → z → 1   2 u 0 0 0 1

Isso vai nos dar

2 u   ,   - 1,0

= 4 u 2 + ( - 1 2 ) + 0 ²  

= 4 u 2 + 1  

Passo 3

Estamos quase no fim agora, basta montar a integral agora

∫ ∫ S x z   d S   =   ∫ 0 2 ∫ 0 4 f r u , z * 4 u 2 + 1     d z d u

Na nossa parametrização nosso x e y estão em função de u logo precisamos parametrizar nossa função escalar agora

x → u

Isso faz com que nossa integral fique da seguinte forma

∫ 0 2 ∫ 0 4 u z * 4 u 2 + 1     d z d u

Vamos integrar em z

z 2 2 z = 0 4 ∫ 0 2 u 4 u 2 + 1     d u

= 4 2 2 ∫ 0 2 u 4 u 2 + 1     d u  

Para resolver essa integral precisamos fazer uma substituição

4 u 2 + 1 = t

8 u   d u = d t

Isso já vai ser o suficiente para conseguirmos resolver nossa integral ; )

4 2 2 ∫ 1 8   t   d t

= 16 2 * 8   2 3 t 3 / 2    

Agora so precisamos voltar de   t → u e aplicar o intervalo de integração

= 2 3 4 u 2 + 1 3 / 2     u = 0 2

= 2 3   9 3 / 2 - 1 3 / 2

= 2 3   27 - 1

= 2 * 26 3

= 52 3

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S x z   d S = 52 3  

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