Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 14
Calcule a integral de superfície.
é a superfície
Passo 1
E aí, galera! De boa?
A questão quer o valor da integral:
é a superfície
Com:
Galera, nesse caso podemos olhar como uma função de e .
Bom, para isso calcularmos a integral de superfície podemos usar a equação:
Então, vamos precisar achar as derivadas parciais da nossa função , dada no enunciado. Daí, é só escrevermos nossa região como uma integral dupla e resolver nossa integral.
Passo 2
Podemos começar pelas derivadas parciais da nossa função :
- Derivando em , é constante:
- Derivando em , é constante:
Substituindo na nossa equação:
As derivadas parciais, ficamos com:
Agora vamos achar o valor de:
Nada mais é que nossa função que está sendo integrada:
Mas como estamos com em função de e , substituimos justamente por essa função, que é nossa superfície:
Então:
Como não temos na função, o valor não muda:
Veja que ainda faltam os limites de integração. Mas isso o enunciado já nos deu:
Então:
Passo 3
Show! Agora vamos resolver a integral:
Começando pela integral de dentro em :
Aplicando os limites de integração:
Agora podemos finalmente integrar em :
Aplicando os limites, temos que: