Enunciado

(a) Determine a representação paramétrica do toro obtido girando em torno do eixo z o círculo do plano x z com centro em b ,   0 ,   0 e raio a < b . [Sugestão: tome como parâmetros os ângulos θ e α mostrados na figura.]

(b) Use as equações paramétricas encontradas na parte (a) para traçar o gráfico do toro para diversos valores de a e b .

(c) Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a área do toro.

Passo 1

E aê, gente legal. Tudo belezal? 😊

No item (a), precisamos determinar os parâmetros da figura do enunciado chamada de toro (nome engraçado, né?) obtido quando está girando em torno do eixo z o círculo do plano x y

com centro em b ,   0 ,   0 e raio a < b .

No item (b), precisamos fazer o gráfico desse toro usando os novos parâmetros encontrados em (a), com valores diversos para a e b .

E no item (c), encontrar a área de superfície para esse toro. Socorro, né? Mas calma e vamos lá 😊

Passo 2

(a) Vamos observar a seguinte figura:

Vamos pensar: o que aconteceria quando girarmos o ponto ( x , 0 , z ) em relação a z ?

Vamos considerar uma parametrização do círculo no plano y z   com centro ( b ,   0 ,   0 ) e o raio a para as coordenadas polares:

x = b + a c o s α ,   z = a   s e n   α

Agora, e se rotacionarmos o círculo sobre o eixo z para obter um toro?

A rotação pode ser representada por um ângulo θ no plano x y . As novas coordenadas x e y depois dessa rotação podem ser, respectivamente:

b + a c o s α c o s θ

b + a c o s α s e n θ

A coordenada z é a mesma de antes da rotação. Logo, podemos fazer a parametrização do toro como

x ,   y ,   z = ( b + a c o s α c o s θ ,   b + a c o s α s e n θ ,   a s e n α )

Onde

θ ∈ 0,2 π ,   α ∈ 0,2 π

Passo 3

(b) Agora vamos chutar alguns valores de a e b nas equações paramétricas já encontradas para traçar gráficos de toros.

Passo 4

(c) Vamos agora encontrar a área da superfície desse toro.

A S = ∬ D r θ × r α d A

Onde precisamos calcular o módulo do produto vetorial das derivadas parciais da representação paramétrica da superfície. Socorroo... Calma lá.

De acordo com a nossa parametrização, temos:

r α ,   θ = b cos ⁡ θ + a cos ⁡ α cos ⁡ θ   ,       b �� s e n   θ + a cos ⁡ α s e n   θ   ,       a   s e n   α

Derivando em relação a α e a θ , obtemos:

r α = ( - a   s e n   α cos ⁡ θ   i ,       - a   s e n   α   s e n   θ   j ,       a cos ⁡ α   k )

r θ = - b + a cos ⁡ α   s e n   θ   i ,       b + a cos ⁡ α cos ⁡ θ   j ,       0 k

Agora tomemos o produto vetorial:

r θ × r α = i j k - b + a cos ⁡ α   s e n   θ b + a cos ⁡ α cos ⁡ θ 0 - a   s e n   α cos ⁡ θ - a   s e n   α   s e n   θ a c o s α  

Resolvendo, chegaremos a

- a b + a cos ⁡ α cos ⁡ θ cos ⁡ α   i + s e n   θ cos ⁡ α   j + s e n   α   k

Portanto, seu módulo será igual a:

r α × r θ = a b + a cos ⁡ α cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ α + s e n 2   θ cos 2 ⁡ α + s e n 2   α

a b + a cos ⁡ α

Passo 5

Show! Agora podemos escrever a integral e resolvê-la, a fim de achar a área da superfície do toro:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 π a b + a cos ⁡ α   d α   d θ

Reorganiznado a integral, podemos calcular por partes:

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 π a b + a cos ⁡ α d α

Substituindo os limites de integração, teremos:

2 π a b α + a 2   s e n   α 0 2 π = 4 π 2 a b

Resposta

( a )   x = b cos ⁡ θ + a cos ⁡ α cos ⁡ θ   ,       y = b   s e n   θ + a cos ⁡ α s e n   θ   ,       z = a   s e n   α

0 ≤ α ≤ 2 π   ,           0 ≤ θ ≤ 2 π

( b )   A S = 4 π 2 a b

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