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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 17

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   y z   d S

S é a superfície com equações paramétricas x = u 2   ,     y = u   s e n   v   ,     z = u cos ⁡ v   ,     0 ≤ u ≤ 1   ,     0 ≤ v ≤ π 2

Passo 1

Oii, pessoal! Tudo certo?

A questão pede a integral de superfície:

∫ ∫ S   y z   d S

S é a superfície com equações paramétricas

x = u 2  

    y = u   s e n   v  

    z = u cos ⁡ v

  0 ≤ u ≤ 1  

    0 ≤ v ≤ π 2

Podemos usar a equação para achar o valor da integral de superfície:

∬ S f ( x , y , z )   d S =   ∬ D f r u , v | r → u × r → v | d A

Então, não vamos precisar achar uma parametrização para x , y e z pois o enunciado já nos deu. Vamos precisar aplicar essas equações parametrizadas na nossa função do integrando:

f x , y , z = y z

Depois vamos derivar esses parâmetros para conseguirmos os vetores r → u e r → v e fazermos o produto vetorial entre eles. Calculamos pelas equações:

r → u = ∂ x ∂ u ,   ∂ y ∂ u ,   ∂ z ∂ u

E:

r → v = ∂ x ∂ v ,   ∂ y ∂ v ,   ∂ z ∂ v

Daí, é só substituirmos tudo isso na nossa equação, achar os limites de integração e resolver nossa integral!

Vamos!

Passo 2

Agora vamos achar nossos vetores. Os vetores r → t e r → z serão:

x = u 2  

    y = u   s e n   v  

    z = u cos ⁡ v

  • r → u : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

    • r → u = ∂ x ∂ u ,   ∂ y ∂ u ,   ∂ z ∂ u   = ∂ u 2   ∂ u ,   ∂ u   s e n   v   ∂ u ,   ∂ u cos ⁡ v ∂ u

    Derivando cada uma dessas funções em relação a u , tratando v como constante:

    r → u = ∂ u 2   ∂ u ,   ∂ u   s e n   v   ∂ u ,   ∂ u cos ⁡ v ∂ u = 2 u   i + s e n   v   j + cos ⁡ v k

  • r → v : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

r → v = ∂ x ∂ v ,   ∂ y ∂ v ,   ∂ z ∂ v   = ∂ u 2   ∂ v ,   ∂ u   s e n   v   ∂ v ,   ∂ u cos ⁡ v ∂ v

Derivando cada uma dessas funções em relação a v , tratando u como constante:

r → v = ∂ u 2   ∂ v ,   ∂ u   s e n   v   ∂ v ,   ∂ u cos ⁡ v ∂ v = 0   i + u cos ⁡ v j - u   s e n   v   k

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial:

r → u × r → v = i ^ j ^ k ^ 2 u   s e n   v u cos ⁡ v 0 u cos ⁡ v - u   s e n   v

Para cada componente i , j e k , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

Então,

r u × r v = - u   i + 2 u 2   s e n   v   j + 2 u 2 cos ⁡ v k

Agora, podemos tirar o módulo r → u × r → v desse nosso vetor:

r u × r v = x 2 + y 2 + z 2  

Substituindo:

r u × r v = u 2 + 4 u 4   s e n 2   v + 4 u 4 cos 2 ⁡ v = u 1 + 4 u 2

Passo 4

Assim, podemos escrever a integral:

∫ ∫ S   y z   d S

Substituímos x e y por suas equações paramétricas:

f r u , v = u   s e n   v u cos ⁡ v

Substituindo na equação:

∫ ∫ D   u   s e n   v u cos ⁡ v r u × r v   d A

Substituindo o módulo do produto vetorial e fazendo:

d A = d u   d v

E os limites de integração dados pelo enunciado:

0 ≤ u ≤ 1  

    0 ≤ v ≤ π 2

Teremos:

= ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 u 2   s e n   v cos ⁡ v u 1 + 4 u 2   d u   d v

Pronto! Tá aí nossa integral completa!

Passo 5

Show! Agora vamos começar a resolver a integral:

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 u 3   s e n   v cos ⁡ v 1 + 4 u 2   d u   d v

E separando cada integral com sua respectiva variável de integração:

= ∫ 0 π 2 s e n   v cos ⁡ v d v ∫ 0 1 u 3 1 + 4 u 2 d u

Resolvendo a primeira integral:

= s e n 2   v 2 0 π 2 ∫ 0 1 u 3 1 + 4 u 2 d u

Aplicando os limites de integração:

= 1 2 ∫ 0 1 u 3 1 + 4 u 2 d u  

Para resolver a outra integral, precisamos fazer uma substituição de variáveis:

t = 1 + 4 u 2

u 2 = 1 4 t - 1  

    1 8 d t = u   d u

Substituindo:

1 2 ∫ 0 1 u 3 1 + 4 u 2 d u

Substituindo novamente:

= 1 2 ∫ 1 5 1 8   . 1 4 t - 1 t d t

Simplificando e tirando a constante para fora:

= 1 64 ∫ 1 5 t 3 2 - t 1 2 d t

Agora podemos resolver nossa integral em t :

= 1 64 t 5 2 5 2 - t 3 2 3 2 1 5

Aplicando os limites de integração:

= 1 32 5 5 - 5 5 3 - 1 5 + 1 3 = 5 5 48 + 1 240

Resposta

5 5 48 + 1 240

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