Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 10
Calcule a integral iterada.
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo numa boa?
Vamos lá, temos que resolver a integral:
Essa integral é uma integral dupla. A gente tem que integrar primeiro em e depois em , porque vem antes que vem antes que . É a mesma coisa que:
Ou seja, calculamos primeiro a “de dentro”, depois a de fora.
Para resolver essa integral precisamos usar o método da substituição, que simplifica bastante o cálculo de integrais mais complexas.
Vem ver como funciona!
Passo 2
Então a gente pode resolver separadamente, começando por
Que é nossa integral de dentro. Aqui, como estaremos integrando em , olhamos para como constante. Para resolver essa integral temos que fazer uma substituição que vai simplificar nossos cálculos. Vamos chamar tudo que está entre os parênteses de :
Derivando , teremos:
Então, substituindo esses termos na nossa integral, ficamos com:
Os limites a gente coloca daqui a pouco, quando a gente voltar numa função de e não mais de .
Resolvendo essa integral, ficamos com:
Assim ficamos com:
Voltando da substituição para nossa variável inicial:
Agora a gente volta com os limites de integração
Aplicando esses limites:
Por fim, teremos:
Integral de dentro, feita!
Passo 3
Então nossa integral de fora fica:
E agora podemos integrar em . Lembrando que a integral da soma é a soma das integrais
Vamos resolver a primeira integral. Tirando a constante para fora:
Precisamos fazer outra substituição aqui.
Derivando , teremos:
Então, substituindo na nossa integral, temos:
Viu como agora a carinha da integral é bem mais simples? Vamos calcular essa integral:
Voltando da substituição para as variáveis iniciais:
Aplicando os limites de integração:
Passo 4
Agora vamos resolver a outra integral da soma de integrais que estamos resolvendo:
Essa integral fica:
Então, aplicando os limites de integração:
Agora podemos fazer
Somando os termos iguais
Usando a propriedade do logaritmo que o multiplicador vira expoente
E por fim usamos a propriedade que a subtração dos logaritmos é a mesma coisa que dividir o argumento dos logaritmos
Então, nosso resultado será: