Calcular as seguintes integrais:

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 ∫ 0 2 - x 2 - y 2 1 2 + x 2 + y 2 + z 2 d z . d y . d x

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, pela primeira integral nós vemos que o z vai de zero até 2 - x 2 - y 2 .

Com isso nós deduzimos que:

z = 2 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 + z 2 = 2

Pelas integrais nós também percebemos que x e y começam a partir do zero.

Legal, né? Então bora desenhar:

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas, começando pela maior:

x 2 + y 2 + z 2 = p 2

p 2 = 2

p = ± 2

Então p estará entre:

0 ≤ p ≤ 2

Legal, agora só precisamos de ф e θ .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Na esfera este ângulo pode ir de 0 até 180°, então para meia esfera:

0 ≤ ф ≤ π 2

O θ é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°. A grande questão aqui é que nós teremos somente ¼ da esfera

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (6) para mudar as variáveis de integração:

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 ∫ 0 2 - x 2 - y 2 1 2 + x 2 + y 2 + z 2 d z . d y . d x

= ∭ T 1 2 + p 2 p 2 . s e n   ф . d p . d θ . d ф

= ∬ R ∫ 0 2 p 2 2 + p 2 . d p s e n   ф . d θ . d ф

Resolvendo:

∫ 0 2 p 2 2 + p 2 . d p

Chamando:

p = 2 u

d p = 2 . d u

E o novo intervalo vai de:

u = 2 2 = 1

u = 0 2 = 0

Na integral:

= ∫ 0 1 2 u 2 2 + 2 u 2 . ( 2 . d u )

= ∫ 0 1 2 u 2 2 + 2 u 2 . ( 2 . d u )

= 2 ∫ 0 1 u 2 1 + u 2 . d u

O termo dentro da integral nós vamos modificar um pouco:

u 2 1 + u 2 = u 2 - ( 1 + u 2 ) 1 + u 2 + 1 = - 1 1 + u 2 + 1

Aplicando na integral:

= 2 ∫ 0 1 - 1 1 + u 2 + 1 . d u

= 2 u - ∫ 0 1 1 1 + u 2 . d u

= 2 u - t g - 1 ( u )

Aplicando o intervalo:

= 2 1 - π 4 - 0  

= 2 1 - π 4 = 2 ( 4 - π ) 4

Aplicando na integral:

= ∫ 0 π 2 [ ∫ 0 π 2 2 ( 4 - π ) 4 d θ ] s e n   ф . d ф    

Resolvendo a integral:

∫ 0 π 2 2 ( 4 - π ) 4 d θ = π 2 2 ( 4 - π ) 4 = 2 π ( 4 - π ) 8

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ 0 π 2 2 π ( 4 - π ) 8   . s e n   ф . d ф      

= 2 π ( 4 - π ) 8 ∫ 0 π 2 s e n ф   . d ф  

= 2 π ( 4 - π ) 8 ( - cos ⁡ ф )

Aplicando o intervalo:

= - 2 π ( 4 - π ) 8 cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0

= - 2 π ( 4 - π ) 8 ( 0 - 1 )

= 2 π ( 4 - π ) 8

Prontinhoo!!

Resposta

2 π ( 4 - π ) 8

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