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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 23e

Calcular as seguintes integrais:

int_0^(sqrt(2)) int_0^(sqrt(2 - x^2)) int_0^(sqrt(2 - x^2 - y^2)) ((1)/(2 + x^2 + y^2 + z^2)) d z . d y . d x

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, pela primeira integral nós vemos que o z vai de zero até sqrt(2 - x^2 - y^2) .

Com isso nós deduzimos que:

z = sqrt(2 - x^2 - y^2)

x^2 + y^2 + z^2 = 2

Pelas integrais nós também percebemos que x e y começam a partir do zero.

Legal, né? Então bora desenhar:

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas, começando pela maior:

x^2 + y^2 + z^2 = p^2

p^2 = 2

p = +- sqrt(2)

Então p estará entre:

0 <= p <= sqrt(2)

Legal, agora só precisamos de ф e theta .

Já sabemos que ф é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Na esfera este ângulo pode ir de 0 até 180°, então para meia esfera:

0 <= ф <= (pi)/(2)

O theta é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°. A grande questão aqui é que nós teremos somente ¼ da esfera

0 <= theta <= (pi)/(2)

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (6) para mudar as variáveis de integração:

int_0^(sqrt(2)) int_0^(sqrt(2 - x^2)) int_0^(sqrt(2 - x^2 - y^2)) ((1)/(2 + x^2 + y^2 + z^2)) d z . d y . d x

= ∭_T^() ((1)/(2 + p^2)) p^2 . s e n (ф) . d p . d theta . d ф

= ∬_R^() [int_0^(sqrt(2)) (p^2)/(2 + p^2) . d p] s e n (ф) . d theta . d ф

Resolvendo:

int_0^(sqrt(2)) (p^2)/(2 + p^2) . d p

Chamando:

p = sqrt(2) u

d p = sqrt(2) . d u

E o novo intervalo vai de:

u = (sqrt(2))/(sqrt(2)) = 1

u = (0)/(sqrt(2)) = 0

Na integral:

= int_0^1 ((sqrt(2) u)^2)/(2 + sqrt(2) u^2) . ( sqrt(2) . d u )

= int_0^1 (2 u^2)/(2 + 2 u^2) . ( sqrt(2) . d u )

= sqrt(2) int_0^1 (u^2)/(1 + u^2) . d u

O termo dentro da integral nós vamos modificar um pouco:

(u^2)/(1 + u^2) = (u^2 - ( 1 + u^2 ))/(1 + u^2) + 1 = (- 1)/(1 + u^2) + 1

Aplicando na integral:

= sqrt(2) int_0^1 ((- 1)/(1 + u^2) + 1) . d u

= sqrt(2) [u - int_0^1 (1)/(1 + u^2) . d u]

= sqrt(2) [u - t g^(- 1) ( u )]

Aplicando o intervalo:

= sqrt(2) [1 - ((pi)/(4) - 0)]

= sqrt(2) [1 - (pi)/(4)] = (sqrt(2) ( 4 - pi ))/(4)

Aplicando na integral:

= int_0^((pi)/(2)) [ int_0^((pi)/(2)) ((sqrt(2) ( 4 - pi ))/(4)) d theta ] s e n (ф) . d ф

Resolvendo a integral:

int_0^((pi)/(2)) ((sqrt(2) ( 4 - pi ))/(4)) d theta = (pi)/(2) (sqrt(2) ( 4 - pi ))/(4) = (sqrt(2) pi ( 4 - pi ))/(8)

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= int_0^((pi)/(2)) (sqrt(2) pi ( 4 - pi ))/(8) . s e n (ф) . d ф

= (sqrt(2) pi ( 4 - pi ))/(8) int_0^((pi)/(2)) s e n (ф) . d ф

= (sqrt(2) pi ( 4 - pi ))/(8) ( - cos ф )

Aplicando o intervalo:

= - (sqrt(2) pi ( 4 - pi ))/(8) (cos (pi)/(2) - cos 0)

= - (sqrt(2) pi ( 4 - pi ))/(8) ( 0 - 1 )

= (sqrt(2) pi ( 4 - pi ))/(8)

Prontinhoo!!

Resposta

(sqrt(2) pi ( 4 - pi ))/(8)

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