Calcular ∭_T^() ( sqrt(x^2 + y^2 + z^2) ) d V , onde T é a região delimitada por x^2 + y^2 + z^2 = 1 e x^2 + y^2 + z^2 = 4 .

Enunciado

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Como o problema nos disse, nossa região é limitada por duas esferas, a menor, e a maior, .

Neste caso é legal nós usarmos coordenadas esféricas, começando pela maior:

Para a menor:

Então p estará entre:

Legal, agora só precisamos de e

Já sabemos que é o ângulo entre um ponto P e o eixo z, certo? Na esfera este ângulo pode ir de 0 até 180°, então:

O é o ângulo que o ponto pode fazer com o eixo x, na esfera esse ângulo vai de 0 até 360°:

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (6) para mudar as variáveis de integração:

Resolvendo:

Aplicando na integral:

Resolvendo a integral:

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

Aplicando o intervalo:

Prontinhoo!!