Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.

2 ≤ ρ ≤ 3, π/2 ≤ ϕ ≤ π

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bem por aí?

A questão quer que a gente esboce o sólido que é descrito por:

2 ≤ ρ ≤ 3 ,   π / 2 ≤ ϕ ≤ π

Bom, como temos uma região em função de ( ρ , ϕ , θ ) , o que temos aqui é uma região descrita em coordenadas esféricas.

Esquema de representação de um ponto em coordenadas esféricas

Então, vamos analisar variável por variável, achar o comportamento de cada uma e entender qual sólido cada uma dessas variações vão formar.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos entender a variação de cada variável no espaço, olhando na imagem do nosso Passo 1.

  • ρ : Como essa variável é uma distância radial da origem e nós temos que:
  • 2 ≤ ρ ≤ 3

    Podemos dizer então que no plano x y nós temos dois círculos, um de raio 3 e outro do raio 2 , ambos com o mesmo centro na origem. Então estamos falando de uma casca esférica com espessura de 1 unidade ( 3 - 2 = 1 ) .

  • ϕ : Como vemos na imagem do passo 1 , ϕ é um ângulo medido a partir do eixo z . No nosso caso, temos:
  • π 2 ≤ ϕ ≤ π

    Nosso ângulo parte do plano x y , onde ϕ = π 2 e vai até a parte negativa do eixo z , onde ϕ = π . Isso significa que nosso sólido vai estar totalmente abaixo do plano x y .

  • θ : Repare como a questão não trouxe restrição nenhuma para θ ,   então assumimos que ele assume todos os valores possíveis:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Usando a descrição que achamos, temos nosso sólido. Uma casca esférica, composta por uma esfera dentro da outra (raio interno 2 e raio externo 3 ) , formando uma espécie de tigela, abaixo do plano x y .

Resposta

.

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