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Exercícios de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

O limite a seguir existe? Se sim, igual a quanto?

l i m x , y → 0,0 x 3 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 3  

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Questão 2

Calcule o limite, se existir, convertendo para coordenadas polares.

lim x , y → 0,0 ⁡ y ln ⁡ x 2 + y 2

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Questão 3

Calcule o limite fazendo a substituição z = x 2 + y 2 e observando que z → 0 + se, e somente se, x , y → 0 ,   0 .

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ e - 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2  

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Questão 4

Calcule o limite, se existir, convertendo para coordenadas esféricas, ρ ,   θ ,   ϕ e observe que ρ → 0 + se, e só se, x , y , z → 0,0 , 0 , já que ρ = x 2 + y 2 + z 2 .

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ e x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2

Dica: ignore esse papo de coordenadas esféricas e use a mudança de variável que ele sugeriu no fim.

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Questão 5

Calcule o limite abaixo

lim x , y → 1,0 ⁡ e 1 x - 1 2 + y 2 . x - 1 2 + y 2

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Questão 6

Calcule ou mostre que o limite l i m x , y → 0,0 e x 2 y - 1 y 3   ⁡ não existe.

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Questão 7

Utilize coordenadas polares para determinar o limite. [Se r , θ são as coordenadas polares do ponto x , y , com r ≥ 0 , observe que r → 0 + quando x , y → 0,0 .]

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2

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Questão 8

Calcule

lim x , y → 0,0 ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x ² + y 2

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Questão 9

O limite a seguir existe? Se sim, igual a quanto?

l i m x , y → 0,0 x 3 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 3  

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Questão 10

  1. Decida, justificando, se existe ou não lim x , y → 0 ,   0 ⁡ x 2 ln ⁡ 3 x 2 + y 2 .
  2. Seja f a função dada por

f x , y = x 2 ln ⁡ 3 x 2 + y 2 arctg ⁡ 1 y 2 - x 2 .

Verifique se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, determine seu valor. Justifique.

b . 1 )   lim x , y → 0 ,   0 ⁡ f x , y b . 2 )   lim x , y → 1 ,   1 ⁡ f x , y

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Questão 11

Calcule os limites abaixo.

f) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x + 3 - 3 x y + x

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Questão 12

Calcule os limites abaixo.

c) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x y 2 x 2 + y 2

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Questão 13

Calcule os limites abaixo.

h) lim x ,  y → 1 ,   1 ⁡ x y 3 - 1 x y - 1

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Questão 14

Calcule os limites abaixo.

g) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x y x + y x 2 + y 2

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Questão 15

Utilize coordenadas polares para determinar o limite. [Se r , θ são as coordenadas polares do ponto x , y , com r ≥ 0 , observe que r → 0 + quando x , y → 0,0 .]

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2

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Questão 16

Utilize coordenadas polares para determinar o limite. [Se r , θ são as coordenadas polares do ponto x , y , com r ≥ 0 , observe que r → 0 + quando x , y → 0,0 .]

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2

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Questão 17

10 – Calcule

lim ( h , k ) → 0,0 ⁡ f x + h , y + k - f x , y - 2 x h - k h 2 + k 2

onde f x , y = x 2 + y .

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Questão 18

Calcule os limites abaixo.

b) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x 3 x 2 + y 2

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Questão 19

Calcule os limites abaixo.

d) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ e x y - 1 x y

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Questão 20

Determine o limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2

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Questão 21

Utilize coordenadas polares para determinar o limite. [Se r , θ são as coordenadas polares do ponto x , y , com r ≥ 0 , observe que r → 0 + quando x , y → 0,0 .]

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2

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Questão 22

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

lim x , y → 0,0 ⁡ e 1 x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 )

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Questão 23

2) Considere as funções g x , y = x y 4 x 2 + y 8 , h x , y = x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2 e f x , y = g x , y + h x , y .

a. Determine se existe o limite lim x , y → 0,0 ⁡ g x , y . Justifique.

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Questão 24

2) Considere as funções g x , y = x y 4 x 2 + y 8 , h x , y = x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2 e f x , y = g x , y + h x , y .

b. Sabendo que existe, calcule o limite lim x , y → 1,1 ⁡ h x , y .

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Questão 25

2) Considere as funções g x , y = x y 4 x 2 + y 8 , h x , y = x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2 e f x , y = g x , y + h x , y .

c. Encontre o valor de a de modo que, definindo f 1,1 = a , a função f seja contínua em 1,1 . Justifique.

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Questão 26

18. Verificar se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.

(a) lim x , y → 0,0 ⁡ y x 2 + y 2

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Questão 27

18. Verificar se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.

(c) lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x + 5 y x - y 2 + z

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Questão 28

18. Verificar se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.

(d) lim x , y → 1,1 ⁡ y - 1 x 2 - 2 x + y 2 - 2 y + 2

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Questão 29

18. Verificar se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.

(f) lim x , y → 0,2 ⁡ y - 2 x 2 + y - 2 4

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Questão 30

18. Verificar se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.

(b) lim x , y → 0,0 ⁡ x y x y

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Listas de Exercícios Resolvidos

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