Enunciado

29 – 36 Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.

34 -   f   x ,   y = x y 2 , D = x , y   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   x 2 + y 2 ≤ 3 }

Passo 1

Faaala, galera. Tudo certo? Nessa questão nós temos a seguinte função e domínio:

f x , y = x y 2 ; D = { x , y   /   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   x 2 + y ² ≤ 3 }

A partir disso, queremos determinar os valores máximo e mínimo absolutos de f no seu domínio.

Esse domínio pode ser visto na imagem abaixo:

Pelo domínio temos que ele é delimitado por esse quarto de uma circunferência.

Para determinar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua fem um conjunto fechado e limitado D:

1. Determine os valores de f nos pontos críticos de f em D .

2. Determine os valores extremos de   f na fronteira de D .

3. O maior dos valores dos passos 1 e 2 é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Tranquilo? Vamos lá então.

Passo 2

Como queremos os pontos de máximo e mínimo, precisamos achar as derivadas parciais e os pontos críticos, isto é, os pontos onde elas se anulam.

Lembrando que f x , y = x y 2 , as derivadas serão

f x = y ²

f y = 2 x y

Note que se f x =   0 , temos que y = 0 logo não há ponto crítico no interior de D .

Passo 3

Como não há ponto critico no interior do nosso domínio, vamos avaliar os lados:

Em L 1 , y = 0 e f x , 0 = 0 .

Em L 2 ,   x = 0 e f 0 , y = 0 .

Em L 3 ,   y = 3 - x 2 .

Pegando g x = f x , 3 - x 2 , para 0 ≤ x ≤ 3 ,   teremos

g x = x ( 3 - x 2 )

logo

g x = 3 x - x 3

então,

g ' x = 3 - 3 x 2

Essa derivada se anula para x = ± 1 , e só nos importa x = 1 que está em D .

O valor máximo é f 1 , 2 = 2 e o valor mínimo absoluto é 0 , que ocorre em f 0 , 3 = f 3 , 0 = 0   (nos extremos).

Assim, o máximo absoluto de f em D é f 1 , 2 = 2 e o mínimo absoluto é   0 , que ocorre em todos os pontos de L 1 e L 2 .

Resposta

O máximo absoluto de f em D é f 1 , 2 = 2 e o mínimo absoluto é   0 , que ocorre em todos os pontos de L 1 e L 2 .

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