Enunciado

Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:

d) lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 + 1 - x y

Passo 1

Para resolver esse limite temos que usar as propriedades da Proposição 3.3 . 2 . Temos que calcular o seguinte limite:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 + 1 - x y

Passo 2

Pela propriedade a temos o seguinte:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 + 1 - x y = lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 + 1 - lim x → 0 y → 0 ⁡ x y

Agora usamos a propriedade f temos o seguinte:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 + 1 - x y = lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 + 1 - lim x → 0 y → 0 ⁡ x y

Agora usamos a propriedade a e c temos o seguinte:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 + 1 - x y = lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 + lim x → 0 y → 0 ⁡ 1 - lim x → 0 y → 0 ⁡ x ⋅ lim x → 0 y → 0 ⁡ y

Podemos então aplicar os limites, assim temos:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 + 1 - x y = 0 2 + 1 - 0 ⋅ 0

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 + 1 - x y = 1 - 0 = 1

Resposta

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 + 1 - x y = 1

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Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:a) lim x → 1 y → 2 ⁡ 2 x y + x 2 - x y
Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:c) lim x → 0 y → 0 ⁡ x - 1 x 2 y 2 + x y - 1
Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:e) lim x → + ∞ y → + ∞ ⁡ 1 x + y - 10
Provar a propriedade (b) da proposição 3.3 . 2 .
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: b) f x ,y = x 2 y - 1 2 x 4 + y - 1 4 ;P ( 0 ,1 )