Calcular os seguintes limites usando a proposição 3.3 . 6 :b) lim x → 0 + y → 0 + ⁡ x y 2 + y 3 - x y 3 x 2 + y 2

lim x → 0 + y → 0 + ⁡ x y 2 + y 3 - x y 3 x 2 + y 2 = 0

Enunciado

A proposição diz que se e é uma função limitada em uma bola aberta de centro em , então

Queremos então provar que , para isso vamos separar em duas funções, uma e uma , onde provaremos que a e que a é limitada.

Podemos reescrever o limite da seguinte maneira:

Vamos considerar e

Primeiro calculamos o limite de , assim temos:

Agora temos que provar que é limitada. Para isso podemos dizer o seguinte:

Agora avaliamos cada uma independentemente e provamos que elas são limitadas.

Para , podemos provar que ela é limitada da seguinte maneira:

Podemos dizer que é sempre maior que zero e menor que :

Agora dividimos tudo por .

Simplificando temos:

Com isso provamos que é limitada.

Um raciocínio equivalente vale para .

Para , podemos provar que é menor do que 1 usando coordenadas polares:

Temos que , e . Substituindo na relação acima temos:

Assim temos que:

Dessa forma provamos que a é uma função limitada.

Pelo passo 3 e pelo passo 4 temos que e que é limitada, assim pela proposição