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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 18b

Calcular ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R é dada por:

b) Círculo centrado em ( a ,   0 ) de raio a .

Passo 1

Temos que:

x 2 + y 2 ≤ 2 a x

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

r 2 ≤ 2 a r cos ⁡ θ

r ≤ 2 a cos ⁡ θ

Como o círculo está centrado em ( a ,   0 ) e tem raio igual a a , temos:

0 ≤ r ≤ 2 a cos ⁡ θ

0 ≤ θ ≤ π

Passo 2

As coordenadas polares se dão:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Substituindo na equação dada, obtemos:

∫ 0 π ∫ 0 2 a cos ⁡ θ r 2 ⋅ r   d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 2 a cos ⁡ θ r 3   d r = r 4 4

Aplicando os limites:

1 4 16   a 4 cos 4 ⁡ θ - 0 = 4   a 4 cos 4 ⁡ θ

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 π 4   a 4 cos 4 ⁡ θ d θ = 4   a 4 cos 3 ⁡ θ ⋅ s e n   θ + 3 a 4 2 θ - 3 a 4 8   s e n   4 θ

Aplicando os limites:

4 a 4 0 - 0 + 3 a 4 2 π - 0 - 3 a 4 8 0 - 0 = 3 a 4 π 2

Resposta

3 a 4 π 2

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