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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.4 - Ex. 30

Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

∫ 0 a ∫ - a 2 - y 2 0 x 2 y   d x   d y

Passo 1

Galera, repare que 0 ≤ y ≤ a e x ≤ 0 , então teremos 0 ≤ r ≤ a e π 2 ≤ θ ≤ π . Ou seja, convertendo para coordenadas polares, nossa integral será:

∫ π / 2   π ∫ 0 a r cos ⁡ θ 2 ( r   s e n   θ )   r   d r   d θ

Passo 2

Show! Pra calcular a integral dupla, vamos separá-la em um produto de duas integrais simples:

∫ π / 2   π ∫ 0 a r cos ⁡ θ 2 ( r   s e n   θ )   r   d r   d θ = ∫ π / 2 π cos 2 ⁡ θ s e n   θ     d θ ∫ 0 a r 4 d r = - cos 3 ⁡ θ 3 π / 2 π r 5 5 0 a = 1 3 - cos 3 ⁡ π + cos 3 ⁡ π 2 1 5 a 5 - 0 5 = 1 15 - ( - 1 ) + 0   a 5 = a 5 15

Resposta

a 5 15

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Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D x yd A , onde D é o disco com centro na origem e raio 3 .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∫ ∫ R cos ⁡ x 2 + y 2d A , onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 .
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ π 2 π ∫ 4 7 rd r d θ
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ rd rd θ