Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

∫ 0 a ∫ - a 2 - y 2 0 x 2 y   d x   d y

Passo 1

Galera, repare que 0 ≤ y ≤ a e x ≤ 0 , então teremos 0 ≤ r ≤ a e π 2 ≤ θ ≤ π . Ou seja, convertendo para coordenadas polares, nossa integral será:

∫ π / 2   π ∫ 0 a r cos ⁡ θ 2 ( r   s e n   θ )   r   d r   d θ

Passo 2

Show! Pra calcular a integral dupla, vamos separá-la em um produto de duas integrais simples:

∫ π / 2   π ∫ 0 a r cos ⁡ θ 2 ( r   s e n   θ )   r   d r   d θ = ∫ π / 2 π cos 2 ⁡ θ s e n   θ     d θ ∫ 0 a r 4 d r = - cos 3 ⁡ θ 3 π / 2 π r 5 5 0 a = 1 3 - cos 3 ⁡ π + cos 3 ⁡ π 2 1 5 a 5 - 0 5 = 1 15 - ( - 1 ) + 0   a 5 = a 5 15

Resposta

a 5 15

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