Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 39
Utilize coordenadas polares para combinar a soma
em uma única integral dupla. Em seguida calcule essa integral dupla.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo Joia?
A questão nos dá a soma de integrais em coordenadas retangulares:
E pede para que a gente transforme essa soma em somente uma integral dupla, utilizando coordenadas polares.
Olhando a soma de integrais, vemos que as três tem a mesma função a ser integrada.
O que muda são apenas as regiões sobre onde estão ocorrendo essa integração, já que cada uma das integrais tem seus próprios limites de integração.
Quando essas integrais se somam, é como se também pudéssemos “somar”, juntar as regiões de cada integração em uma região só.
Então, nossa primeira tarefa será achar a região de integração que representa a soma e expressar sua área por uma integral dupla usando as coordenadas polares.
Depois, finalizamos calculando o valor da integral!
Bora?
Passo 2
Vamos começar entendendo qual a região que está sendo descrita pela soma das 3 integrais.
- :
- :
- :
- Os valores de variam entre:
- O ângulo parte do no sentido anti-horário e para em meio quadrante, ou seja, .
varia de a e varia de a . Isso corresponde à parte do círculo (raio ) que está entre e a reta .
varia de a e varia de a . Isso corresponde à parte do círculo (raio ) que está abaixo da reta .
varia de a e varia de a . Isso corresponde à parte do círculo (raio ) que está abaixo da linha .
Juntando tudo isso nessa figura, vamos entender que a região de integração é justamente a região sombreada:
A região sombreada na figura representa justamente a área total, enquanto as três áreas separadas por linhas pontilhadas são as regiões de cada integral da soma.
Passo 3
Agora precisamos expressar essa região em termos de coordenadas polares.
Então, no final das contas, estamos integrando sobre :
Assim, conseguimos expressar toda a soma dada no enunciado como uma única integral dupla em coordenadas polares.
Passo 3
Show! Bora resolver a integral? Escrevemos a integral do produto como um produto de integrais:
Resolvendo cada integral:
Aplicando os limites de integração de cada variável:
Então, teremos por fim: