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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.4 - Ex. 29

Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 s e n x 2 + y 2   d y   d x

Passo 1

Fala galera, o exercício nos pede para calcular a integral iterada em coordenadas polares de :

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 s e n x 2 + y 2   d y   d x

Então a primeira coisa que iremos fazer é converter para coordenadas polares :

x = r   c o s   Ө

y = r   s e n   Ө

d x = r d r d Ө

Depois disso poderemos achar os limites de integração de r   e Ө . Com as informações poderemos substituir na integral :

∫ θ 1 θ 2 ∫ r ( θ 1 ) r ( θ 2 ) f ( r , θ )   r   d r   d θ

E aí é só calcular normalmente.

Passo 2

Vamos então passar para coordenadas polares. Já sabemos que :

x = r   c o s   Ө

y = r   s e n   Ө

Logo para achar x 2 + y 2 , igual o da função vamos precisar elevar os dois lado ao quadrado e somar :

x 2 = r 2   c o s 2   Ө

+

y 2 = r 2   s e n 2   Ө

x 2 + y 2 = r 2 (   s e n 2 Ө   +   c o s 2   Ө )

Como   s e n 2 Ө   +   c o s 2   Ө = 1

x 2 + y 2 = r 2

Sendo assim já podemos substituir na nossa integral os novos valores :

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 s e n x 2 + y 2   d y   d x

⇩

∫ θ 1 θ 2 ∫ r ( θ 1 ) r ( θ 2 ) s e n r 2   r   d r   d θ

Passo 3

Agora vamos aos limites de integração. Sabemos que :

- 3 ≤ x ≤ 3

Isso quer dizer que o tamanho do raio do círculo vale 3 então seu raio será:

0 ≤ r ≤ 3

Agora, também sabemos que

0 ≤ y   ≤ 9 - x 2

se substituirmos o valores de x na função acima vemos que y = 0 .Mas como sabemos que :

y = r   s e n   θ

Se y = 0 , os valores para isso ser verdade será quando θ = 0 e θ = π , visto que são os valores de quando   s e n   Ө = 0 . logo:

0 ≤ θ ≤ π

Substituindo na nossa integral:

∫ 0 π ∫ 0 3 s e n r 2   r   d r   d θ

Passo 4

Show! Para calcular a integral dupla, vamos separá-la em um produto de duas integrais simples:

∫ 0 π ∫ 0 3 s e n r 2   r   d r   d θ = ∫ 0 π d θ ∫ 0 3 r   s e n r 2   d r

Vamos integrar separadamente cada uma.

Começando por :

∫ 0 π d θ

θ 0 π

π - 0

∫ 0 π d θ = π

Substituindo em :

∫ 0 π ∫ 0 3 s e n r 2   r   d r   d θ = ∫ 0 π d θ ∫ 0 3 r   s e n r 2   d r

⇩

∫ 0 π ∫ 0 3 s e n r 2   r   d r   d θ = π   ∫ 0 3 r   s e n r 2   d r

Passo 5

Agora vamos para a segunda integral :

∫ 0 3 r   s e n r 2   d r

Nesta integral, vamos realizar substituição:

r 2 = u    

d r . u ' = d u

d r =   d u   2 r

Substituindo na integral :

∫ 0 3 r   s e n u . d u   2 r  

1 2   ∫ 0 3   s e n u .

1 2 - c o s   u 0 3

Substituindo novamente r 2 = u    

1 2 - c o s   r 2 0 3

1 2 - c o s   3 ² + c o s   0 ²

∫ 0 3 r   s e n r 2   d r = 1 2 - c o s   9 + 1

Agora, vamos retornar na equação inicial, tendo:

∫ 0 π ∫ 0 3 s e n r 2   r   d r   d θ = π   ∫ 0 3 r   s e n r 2   d r

↓

∫ 0 π ∫ 0 3 s e n r 2   r   d r   d θ = π . 1 2 - c o s   9 + 1

∫ 0 π ∫ 0 3 s e n r 2   r   d r   d θ = π 2 1 - c o s   9  

Resposta

π 2 1 - c o s   9  

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