Calcular ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R é dada por:

a) Círculo centrado na origem de raio a .

Passo 1

Como o círculo está centrado na origem e tem raio igual a a , temos:

0 ≤ r ≤ a

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

As coordenadas polares se dão:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Substituindo na equação dada, obtemos:

∫ 0 2 π ∫ 0 a r 2 ⋅ r   d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 a r 3   d r = r 4 4

Aplicando os limites:

1 4 a 4 - 0 = a 4 4

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π a 4 4 d θ = a 4 4 θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 a 4 4 = a 4 π 2  

Resposta

a 4 π 2

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