Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 10
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
onde é a região que está a esquerda do eixo e entre as circunferências e .
Passo 1
OIÊ, vamos lá. Quando mudamos para coordenadas polares a integral passa a ter outro formato. Substituímos o e as variáveis da função ela fica assim :
Então nessa questão precisamos descobrir primeiro como ficará a função escrita em coordenadas polares
O próximo passo que iremos fazer é entender quem é a região R e quais serão os limites de integração.
Com todas essas informações definidas poderemos calcular a integral.
Bora começar!
Passo 2
Para transformar a integral em coordenadas polares, usamos:
Assim,como a função era :
Iremos substituir os novos valores de
Reescrevendo na integral , teremos::
Nunca esqueça do jacobiano quando passamos para coordenadas polares!
Passo 3
Agora que já reescrevemos a função, vamos achar a região R.
O enunciado nos informa que a região R está a esquerda do eixo e entre as circunferências e .
Vamos relembrar um conceito importante. Representamos uma circunferência através da seguinte equação :
onde :
Pontos do centro da circunferência
raio
Quando a equação tem o formato:
quer dizer que os pontos do centro da circunferência são
Logo podemos afirmar as seguintes informações das equações dadas :
(I)
(I) possui raio igual a 1 e os pontos do centro da circunferência serão .
(II)
(II) possui raio igual a 2 e os pontos do centro da circunferência serão .
Show, já sabemos as duas circunferências porém um detalhe importante é que a região R entre ela e à esquerda delas . Desenhando encontraremos a seguinte figura:
Passo 4
Para encontrarmos os limites temos que descobrir quanto e variam.
Vamos começar pelo :
Aqui nós queremos apenas saber o quanto o raio vai variar. Nos passos anteriores vimos que teremos dois círculos um de (I) e outro de . Então esses serão nossos limites em
Agora vamos ver o de . Aqui nós vamos delimitar em que parte do círculo vamos integrar. Lembra que na figura anterior ficamos apenas com a parte esquerda do círculo? Isso quer dizer que a variação será entre os ângulos e.
Lembrando dos ângulos de um círculo:
Passo 5
Oba, já a mudamos para as coordenadas polares e encontramos a região R. Vamos então substituir tudo na integral e começar os cálculos :
Revisando as informações que encontramos :
Substituindo :
Note que as integrais em e são independentes, de modo que podemos escrevê-la da seguinte forma :
Vamos fazer a integral separadamente para facilitar a nossa compreensão.Começando pela primeira :
Agora vamos para a segunda :
=
Multiplicando os resultados :
Portanto,