Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 13
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
13.
Onde .
Passo 1
E aí, gente bonita. Tudo beleza?
Olha só, precisamos transformar nossa integral em coordenadas polares e resolvê-la. Moleza, né?
Lembrando as principais fórmulas que temos para regiões polares:
Os dados da região nos define quem são nossos limites de integração. Vamos passo a passo.
Sabemos quem é , logo:
Passando esse expoente como raiz pra ambos os lados da inequação, descobrimos um de nossos limites de integração:
Além disso, como
Substituindo:
Peraí. Qual valor de para que o resultado seja igual tanto para e ?
Só se o ângulo for , ou melhor, polarmente falando,
Passo 2
Podemos também reescrever nossa função como polar.
Então,
Assim, vamos jogar na nossa integral tudo o que descobrimos:
Passo 3
Portanto, nos falta agora resolver esta bomba!
Pela integral interna:
Fazendo um M.M.C. basiquinho:
Passo 4
Vamos fazer agora a integral de fora:
Colocando nossa fração pra fora da integral,
Assim,